HDU2255 奔小康赚大钱 (最大权完美匹配) 模板题【KM算法】

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　　　　　　　　　　　奔小康赚大钱

Problem Description

传说在遥远的地方有一个非常富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革：重新分配房子。
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).

Input

输入数据包含多组测试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。

Output

请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。

Sample Input

2

100 10

15 23

Sample Output

123

 

解题分析：

带权二分图的最优匹配问题，需要用到KM算法。KM算法讲解可以看这里  >>>    

以下代码和讲解转载于 >>>

 

但是，我们普通的dfs版的KM算法复杂度比较伪，只针对随机数据复杂度为$O(n^3)$,对于极限数据（w[i][j]很大）slack优化作用不显著，有可能被卡到$O(n^4)$

dfs版KM：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=310;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n,nx,ny;
int linker[N],lx[N],ly[N],slack[N];  //lx,ly为顶标，nx,ny分别为x点集y点集的个数
int visx[N],visy[N],w[N][N];

int DFS(int x){
    visx[x]=1;
    for(int y=1;y<=ny;y++){
        if(visy[y])continue;    //每次只常识匹配一次y，相当于匈牙利中的vis[]
        int tmp=lx[x]+ly[y]-w[x][y];   //x,y期望值之和与x,y之间的权值的差值
        if(tmp==0){   //x,y之间期望值==他们之间权值时符合要求
            visy[y]=1;
            if(linker[y]==-1 || DFS(linker[y])){   //y没有归属者，或者y的原始归属者能够找到其他归属者
                linker[y]=x;
                return 1;
            }
        }else slack[y]=min(slack[y],tmp);
    }
    return 0;
}

int KM(){
    int i,j;
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    memset(ly,0,sizeof(ly));   //初始化，y的期望值为0
    for(i=1;i<=nx;i++)      //lx为x的期望值,lx初始化为与它关联边中最大的
        for(j=1,lx[i]=-INF;j<=ny;j++)
            if(w[i][j]>lx[i])
                lx[i]=w[i][j];
    //为每一个x尝试解决归属问题
    for(int x=1;x<=nx;x++){
        for(i=1;i<=ny;i++)slack[i]=INF;
        while(true){
            memset(visx,0,sizeof(visx));
            memset(visy,0,sizeof(visy));
            if(DFS(x))break;   //若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广               
            //若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。
            //方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，
            //所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d
            int d=INF;
            for(i=1;i<=ny;i++)
                if(!visy[i])d=min(slack[i],d);   //d为没有匹配到的y的slack中的最小值
            for(i=1;i<=nx;i++)
                if(visx[i])lx[i]-=d;
            for(i=1;i<=ny;i++)   
                if(visy[i])ly[i]+=d;
                else slack[i]-=d;    //修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
        }
    }
    int res=0;
    for(i=1;i<=ny;i++)
        if(linker[i]!=-1)
            res+=w[linker[i]][i];
    return res;
}

int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        nx=ny=n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&w[i][j]);
        int ans=KM();
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

bfs版KM：复杂度真正为$O(n^3)$        (待补)