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  • UVa 10892 LCM的个数 (GCD和LCM 质因数分解)

    题意:

    输入正整数n(n< 2e9),统计有多少对正整数a<=b,满足lcm(a,b)=n?

    分析:

    1. 设n=lcm(a,b)=(p1^r1)* (p2^r2)* (p3^r3)…(pm^rm)
      又设a=(p1^a1)* (p2^a2)* ( p3^a3)…(pm^am),b=(p1^b1)(p2^b2)(p3^b3)…(pm^bm)
      则由lcm的定义有ri=max{ai,bi}
      所以对于每个ri,ai和bi中至少有一个要取ri
    2. 对于ai取ri的情况,bi可以取[0,ri-1]的任意整数,这有ri种情况;bi取ri的情况同样是ri种。最后加上ai和bi都取ri的情况,共有(2*ri+1)种情况
    3. 最后,由于这么考虑把(a,b)和(b,a)算重复了,但(n,n)的情况只算了一遍,所以最后要ans=(ans+1)/2=ans/2+1(因为ans是奇数)
    4. 优化:只考虑√n范围内的质数,但这样会存在漏掉一个大质数的情况(比如n=2* 101等),这个大质数的幂次只能为1(即少算了一个* (2* 1+1)),所以在这种情况发生时要补上ans*=3,写成位运算就是ans+=ans<<1了。

    我是学习的:http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/11380309
    这个写的很好!!

    int prime_fac(int n)
    {
        int ans=1;
        for(int i=2;i*i<=n;i+=2){
            if(n%i==0){
                int cnt=0;
                while(n%i==0)n/=i,++cnt;
                ans*=2*cnt+1;
            }
            if(i==2)--i;
        }
        if(n>1)ans+=ans*2;
        ans=ans/2+1;
        return ans;
    }
    int main()
    {
        int n;
        while(~scanf("%d",&n),(n)){
            cout<<n<<' '<<prime_fac(n)<<endl;
        }
        return 0;
    }

    这题暴力也可以:

    int solve(int n)
    {
        vector<int>a;
        int ans=0;
        for(int i = 1; i*i <= n; i++){  
            if(n%i==0){  
                if(i*i==n){  
                    a.push_back(i);  
                }else{  
                    a.push_back(i);  
                    a.push_back(n/i);  
                }  
            }  
        }  
        for(int i = 0; i < a.size(); i++){  
            for(int j = i; j < a.size(); j++){  
                if(a[i]*a[j] == n*gcd(a[i],a[j])){  
                    ans++;  
                }  
            }  
        }  
        return ans;
    }
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