5-1
1、对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果B包含于A，则称该n元运算是封闭的。
2、一个非空集合A连同若干定义在该集合上的运算f1，f2，……，fk所组成的系统称为一个代数系统，记作<f1,f2,……,fk>。
3、代数系统应包含三种特性：
封闭性：x※y∈I
交换律：x※y=y※x
结合律：（x※y）※z=x※（y※z）
5-2
1、设※是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x※y∈A，则称二元运算※在A上是封闭的。
2、设※是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x※y=y※x，则称二元运算※在A上是可交换的。
3、设※是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈A，都有x※y※z=x※（y※z），则称二元运算※在A上是可结合的。
4、设※、▲是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈A，都有
x※（y▲z）=（x※y）▲（x※z）
（y▲z）※x=（y※x）▲（z※x），则称运算※对于▲是可分配的。
5、设※、▲是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有
x※（x▲y）=x
x▲（x※y）=x，则称运算※对于▲满足分配律。
6、设※是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x※x=x，则称二元运算※是等幂的。
7、设※是定义在集合A上的二元运算，如果有一个元素el∈A，对于任意元素x∈A都有el※x=x，称el为A中关于运算※的左幺元。
如果有一个元素er∈A，对于任意元素x∈A都有x※er=x，称er为A中关于运算※的右幺元。
若A中一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算※的幺元/单位元。显然对于任一x∈A，有e※x=x※e=x。
设※是定义在集合A上的二元运算，且在A中有关于运算※的el和er，则el=er=e，A中的幺元是唯一的。
8、设※是定义在集合A上的二元运算，如果有一个元素θl∈A，对于任意元素x∈A都有θl※x=θl，称θl为A中关于运算※的左零元。
如果有一个元素θr∈A，对于任意元素x∈A都有x※θr=θr，称θr为A中关于运算※的右零元。
若A中一个元素θ，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算※的零元。显然对于任一x∈A，有θ※x=x※θ=θ。
设※是定义在集合A上的二元运算，且在A中有关于运算※的θl和θr，则θl=θr=θ，A中的零元是唯一的。
设<A，*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1.如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则θ≠e。
9、设<A，*>是一个代数系统，这里※是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算※的幺元。若对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元；如果a*b=e，那么称b为a的右逆元；如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b是a的一个逆元。一般a与b互逆，记为x-1。一般来说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至左右逆元可以不唯一。
设<A，*>是一个代数系统，这里※是定义在集合A上的二元运算，A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元。如果*是可结合的运算，那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
10、一个代数系统<S，*>，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果运算*是封闭的，则称代数系统<S，*>为广群。
<S，*>为广群中，运算*是可结合的，即对任意的x，y，z∈S，满足（x*y）*z=x*（y*z），则称代数系统<S，*>为半群。
<S，*>为半群，B包含S且*在B上是封闭的，那么<B，*>也是一个半群。称<B，*>是半群<S，*>的子半群。
<S，*>为半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a，a是等幂元。
含有幺元的半群称为独异点。
设<S，*>是一个独异点，则在关于运算*的运算表任何两行或两列都是不同的。
设<S，*>是一个独异点，对于任意a，b∈S，且a，b均有逆元，则（a-1）-1=a；a*b有逆元，且（a*b）-1=b-1*a-1。
11、设<G,*>是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，如果
（1）运算*是封闭的
（2）运算*是可结合的
（3）存在幺元e
（4）对于每一个元素x∈G，存在着他的逆元x-1
则称<G,*>是一个群。
12、<G,*>是一个群，如果G是有限集，那么称<G,*>为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为|G|；如果G是无限集，那么称<G,*>为无限群。群中不可能有零元。有消去律。
设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。在群<A,*>中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。
13、如果群<G,*>中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。
<G,*>是一个群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。
任何一个循环群必定是阿贝尔群。
14、
