Trailing Zeroes (III) LightOJ

题意：

You task is to find minimal natural number (N), so that (N!) contains exactly (Q) zeroes on the trail in decimal notation. As you know (N! = 1*2*...*N).For example, (5! = 120), (120) contains one zero on the trail.
数据范围：(T ≤ 10^4,1 ≤ Q ≤ 10^8)

分析：

关键在于给定一个数 (n)，如何求出 (n!)有多少个 (5)。
一开始想维护一个前缀和，来纪录 (n!) 的因子中有多少个 (5)。但是时间和空间的花费太多了。
这里介绍一个定理：
令 (f(x)) 表示 (x!) 中因子 (5) 的个数；

[f(n!)=egin{cases} 0 & n<5\ k+f(k!) & k=frac{n}{5} end{cases}]

推广到任意数 $x$，有 $$f(n!)=egin{cases} 0 & n 求阶乘，数肯定是连续的。那么先除 $x$，就把 $[1,n]$ 中含有至少一个因子 $x$ 的数的个数求出，再使 $n/x$。然后依次类推。 知道这个之后，我们直接二分就可以求出答案。 ### 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e8+100;
int solve(int n)
{
    int res=0;
    while(n)
    {
        res+=n/5;
        n/=5;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t,q,cot=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&q);
        int l=4,r=N;
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if(solve(mid)>=q)
                r=mid-1;
            else
                l=mid+1;
        }
        printf("Case %d: ",++cot);
        if(solve(l)==q)
            printf("%d
",l);
        else
            printf("impossible
");
    }
    return 0;
}