Alice和Bob赌糖果【赌徒破产模型】

题意

( ext{Alice}) 从 ([l, r]) 中随机抽一个数，( ext{Bob}) 从 ([L, R]) 中随机抽一个数，谁抽的数大谁就赢，输的一方给另一方(1) 颗糖（平局不用给糖），他们会一直赌下去直到有一方没有糖果为止。 ( ext{Alice}) 有 (n) 颗糖果，( ext{Bob}) 有 (m) 颗糖果，求 ( ext{Alice}) 将 ( ext{Bob}) 的糖果赢完的概率。

(0leq n,m leq 1e5,n+m > 0,1 leq l leq r leq 100,1leq L leq Rleq 100)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14962

分析

(f_i) 表示 ( ext{Alice}) 能从 (i) 颗糖果赢到 (n+m) 颗的概率，(f_0=0) 表示一开始就输了，(f_{n+m}=1) 表示胜利，要求的答案为 ：(f_n)。(p) 为 ( ext{Alice}) 每次赢的概率，(q) 为每次输的概率。

按照题目的条件，每次取整数，循环两个区间暴力即可求出 (p,q)。

有：

[f_i=p*f_{i+1}+q*f_{i-1}+(1-p-q)*f_{i} ]

设 (f_{i-1}=k_{i-1}*f_i)，代入，得：

[k_i=frac{p}{p+q-q*k_{i-1}} 1leq i leq n+m-1 ]

并且，(k_0=0)。

最终结果从 (f_{n+m}=1) 倒推，根据 (f_{i-1}=k_{i-1}*f_i)，即可求出 (f_n)。

特判：

当 (p=0 且 p=0) 时，计算 (k_i) 时，分母可能为 (0)。可以证明，当其中一个不为 (0) 时，分母不可能为 (0)。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=2e5+5;
double k[N];
int main()
{
    int n,m,l,r,L,R;
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
    scanf("%d%d%d",&m,&L,&R);
    int a=0,b=0,c=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        for(int j=L;j<=R;j++)
        {
           a+=(i>j?1:0);
           b+=(i<j?1:0);
           c++;
        }
    }
    double p=1.0*a/c,q=1.0*b/c,ans=1.0;
    if(p==0&&q==0)
        ans=0;
    else
    {
        k[0]=0;
        for(int i=1;i<m+n;i++)
            k[i]=p/(p+q-q*k[i-1]);
        for(int i=n+m-1;i>=n;i--)//f[n+m]=1
            ans*=k[i];
    }
    printf("%.5f
",ans);
    return 0;
}