题意
给出一个整数 (x) 和两个数组：(a_1,a_2,cdots,a_n,b_1,b_2,cdots ,b_n)。生成一个 (n imes n) 的矩阵 (M)，定义如下：
[M_{i,j}=
egin{cases}
x+a_ib_j &, i=j\
\
a_ib_j &, ext{othe}r
end{cases}
]
求出矩阵 (M) 的行列式，模 (10^9+7) ，即 (det(M)mod 10^9+7)。
题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7502/D
分析参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/34685081
分析
由题意得：
[M=left[
egin{matrix}
a_1b_1+x & a_1b_2 & a_1b_3 &cdots & a_1b_n\
a_2b_1 & a_2b_2+x & a_2b_3 &cdots &a_2b_n\
a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3+x &cdots &a_3b_n\
vdots &vdots & vdots &ddots &vdots\
a_nb_1 & a_nb_2 &a_nb_3 &cdots &a_nb_n+x
end{matrix}
ight]
]
对 (M) 进行加边升阶，有：
[M'=left[
egin{matrix}
1 & b_1 & b_2 & b_3 & cdots & b_n\
0 & a_1b_1+x & a_1b_2 & a_1b_3 &cdots & a_1b_n\
0 & a_2b_1 & a_2b_2+x & a_2b_3 &cdots &a_2b_n\
0 & a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3+x &cdots &a_3b_n\
vdots & vdots &vdots & vdots &ddots &vdots\
0 & a_nb_1 & a_nb_2 &a_nb_3 &cdots &a_nb_n+x
end{matrix}
ight]
]
对于 (M') 的 (2) 到 (n+1) 行，每行减去 (a_i) 乘第 (1) 行的值，得：
[M''=left[
egin{matrix}
1 & b_1 & b_2 & b_3 & cdots & b_n\
-a_1 & x & 0 & 0 &cdots & 0\
-a_2 & 0 & x & 0 &cdots &0\
-a_3 & 0 & 0 & x &cdots &0\
vdots & vdots &vdots & vdots &ddots &vdots\
-a_n & 0 & 0 &0 &cdots &x
end{matrix}
ight]
]
从第二列开始，每列乘上 (frac{a_i}{x}) 后加到第 (1) 列上，得：
[M'''=left[
egin{matrix}
1+frac{1}{x}sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} & b_1 & b_2 & b_3 & cdots & b_n\
0 & x & 0 & 0 &cdots & 0\
0 & 0 & x & 0 &cdots &0\
0 & 0 & 0 & x &cdots &0\
vdots & vdots &vdots & vdots &ddots &vdots\
0 & 0 & 0 &0 &cdots &x
end{matrix}
ight]
]
即转化为一个上三角形式，最终答案为主对角线上得元素的乘积：
[ANS=x^n+x^{n-1}·sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}
]
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e5+5;
int a[N],b[N];
ll power(ll x,ll y)
{
ll res=1;
x%=mod;
while(y)
{
if(y&1)
res=res*x%mod;
y>>=1;
x=x*x%mod;
}
return res;
}
int main()
{
int x,n;
while(scanf("%d%d",&n,&x)!=EOF)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&b[i]);
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=(ans+1LL*a[i]*b[i]%mod)%mod;
ans=(power(1LL*x,1LL*n)+power(1LL*x,1LL*n-1)*ans%mod+mod)%mod;
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}