原作者：liuzibujian
原文：https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324
本文稍作补充，精细排版。
前言
欧拉函数听起来很高大上，但其实非常简单，也是NOIP里的一个基础知识，希望大家看完我的博客能有所理解。
数论是数学的一个分支，它只讨论正整数的性质，所以以下都是针对正整数进行研究的。
什么是欧拉函数
欧拉函数是小于(x)的整数中与(x)互质的数的个数，一般用(varphi(x))表示。特殊的，(varphi (1)=1)。
如何计算欧拉函数
通式： (varphi(x)=x cdot prod_{i=1}^n{left(1-frac{1}{p_i}
ight)},quadvarphi(1)=1)
其中(p_1,p_2,cdots, p_n)为(x)的所有质因数，(x)是正整数。
那么，怎么理解这个公式呢？对于(x)的一个质因数(p_i)，因为(x)以内(p_i)的倍数是均匀分布的，所以(x)以内有(frac{1}{p_i})的数是(p_i)的倍数，那么有(1-frac{1}{p_i})的数不是(p_i)的倍数。再对于(p_j)，同理，有(1-frac{1}{p_j})的数不是(p_j)的倍数，所以有((1-frac {1}{p_i})*(1-frac {1}{p_j}))的数既不是(p_i)的倍数，又不是(p_j)的倍数。最后就有(prod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})})的数与(x)互质，个数自然就是(xcdotprod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})})。
不理解？没关系，举个例子。比如(x=12)，12以内有(frac {1}{2})的数是2的倍数，那么有(1-frac {1}{2})的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），这6个数里又有(frac {1}{3})的数是(3)的倍数，只剩下((1-frac {1}{2})*(1-frac{1}{3}))的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。这样剩下的(12*(1-frac{1}{2})*(1-frac{1}{3}))，即4个数与12互质，所以(varphi(12)=4)。
积性函数
先介绍一下什么是积性函数，后面将会用到。
若当(m)与(n)互质时，(f(m∗n)=f(m)∗f(n))，那么(f)是积性函数。
若对任意正整数，都有(f(m*n)=f(m)*f(n))成立，则(f)是完全积性函数。
欧拉函数的几个性质
1. 对于质数(p)，(varphi(p)=p−1)
因为p是质数，所以1到n-1都与n互质。
2. 若(p)为质数，(x=p^k)，则(varphi(x)=p^k-p^{k-1})
(x)只有一个质因数(p)，根据公式(varphi(x)=xcdotprod_{i=1}^n{left(1-frac{1}{p_i} ight)}=xcdot (1-frac{1}{p})=p^kcdotleft(1-frac{1}{p} ight)=p^k-p^{k-1})
3. 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数
若(m,n)互质，则(varphi(m∗n)=varphi(m)∗varphi(n))。特殊的，当(m=2)，(n)为奇数时，(varphi(2*n)=varphi(n))。
4. 当(n>2)时，(varphi(n))是偶数
前几个都可以利用公式证明，这个却不行。
首先有一个基本事实：若(n>m,\,gcd(n,m)=1)，则(gcd(n,n-m)=1)。直白的说，如果与(n)互质的数一个是(m)，那么还存在另一个数(n-m)也与n互质。
（补充：反证法，设(gcd(n,n-m)=k eq 1)，则有(a,binmathbb{N}^+,\, a>b)满足(n=ak,\,n-m=bk)，得(m=(a-b)k)，不符合(gcd(n,m)=1)）
与(n)互质的数是成对出现的，所以(varphi(n))必为偶数。但还要排除(m=n-m)的情况：如果(m=n-m)，即(n=2∗m)，那么(n>2)时(n,m)必然不互质，与前提相悖，故(m eq n-m)。
附上一个较为麻烦的证明
case 1：若(n)为质数，根据性质1，(varphi(n)=n-1)必为偶数。
case 2：若(n)为合数，则可以写成(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_n^{k_n})（(p_1,p_2,cdots, p_n)为(n)的质因数，(k_1,k_2,cdots,k_n)为对应得指数），而欧拉函数是积性函数，(varphi(n)=varphi(p_1^{k_1})varphi(p_2^{k_2})cdots varphi(p_n^{k_n}))，暂且只看(varphi(p_1^{k_1}))，根据性质2得到(varphi(p_1^{k_1})=p_1^{k_1}-p_1^{k_1-1}=(p_1-1)p_1^{k_1-1})，其中(p_1-1)必为偶数，偶数乘以任何数均为偶数，故(varphi(n))为偶数。
5. 小于(n)的数中，与(n)互质的数的总和为(varphi(n)*n/2)（(n>1)）
证明这个也要用到上面所说的基本事实。与(n)互质的数一个是(m)，那么还存在另一个数(n-m)也与(n)互质。所以与(n)互质的数的平均数是(n/2)，而个数又是(varphi(n))，可以得到这些数的和就是(varphi(n)*n/2)。
6. (n=sum_{d|n}{varphi(d)})，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n
证明1（理性的证明）：
这个证明起来有点麻烦。设(F(n)=sum_{d|n}{varphi(d)})。
（1）如果(n=1)，(varphi(n)=1=n)，满足(F(n)=n)。
（2）如果(n)是质数，(varphi(n)=nleft(1-frac{1}{n} ight)=n-1)，所以(varphi(n)+varphi(1)=1)，满足(F(n)=n)。
（3）如果(n)是一个质数(p)的幂，即(n=p^k)，因为(p^k)的因数只有(1,p,p^2,p^3,cdots,p^k)，根据欧拉函数的性质2（(varphi(p^k)=p^k-p^{k-1})），代入计算
(F(p^k)=varphi(1)+varphi(p)+varphi(p^2)+...+varphi(p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+...+(p^k-p^{k-1})=p^k)
满足(F(n)=n)。
（4）如果(n)有多个质因子，即(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_n^{k_n})。
（4.1）首先证明(F(n))是个积性函数：设(m,n)互质，则要证(F(m∗n)=F(m)∗F(n))。
其中(i_1,i_2,cdots ,i_{km})为(m)的所有因数，(j_1,j_2,cdots,j_{kn})为(n)的所有因数之和.
因为(m)与(n)互质，所以它们的因数也必然全都两两互质，而欧拉函数又是个积性函数，即(varphi(i_k*j_k)=varphi(i_k)*varphi(j_k))，那么上式又可以等价于(varphi(i_1*j_1)+varphi(i_1*j_2)+cdots+varphi(i_{km}*j_{kn}))。可以发现，(i_1*j_1,i_1*j_2,cdots,i_{km}*j_{kn})这些数构成了(m∗n)的所有因数。那么这些数的欧拉函数之和就等于(F(m∗n))，所以(F(m∗n)=F(m)∗F(n))，证得F是一个积性函数。
（4.2）根据（4.1）与（3），(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_n^{k_n})时，(F(n)=F(p_1^{k_1})*F(p_2^{k_2})*cdots*F(p_n^{k_n})=p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_n^{k_n}=n) 成立。
综上，(F(n)=n)对所有的正整数(n)成立。
证明2（感性的证明）：
以12为例。12的因子有1,2,3,4,6,12。把与这些数互质的数列出来：
1 :1
2 :1
3 :1 2
4 :1 3
6 :1 5
12:1 5 7 11
不妨把这些数作为分母，把与这些数互质的数作为分子，写成分数形式：
1/1
1/2
1/3 2/3
1/4 3/4
1/6 5/6
1/12 5/12 7/12 11/12
显然，每一行的数的个数就是该行的分母的欧拉函数值。倘若把这些数都改成以12为分母的数：
12/12
6/12
4/12 8/12
3/12 9/12
2/12 10/12
1/12 5/12 7/12 11/12
可以发现，这些数是以12为分母，1~12为分子的所有数，所以个数为12个。所以与12互质的数的欧拉函数值之和就是12。这样，命题大概就被证明了吧。
【证明2·补充】个人认为更为严谨易懂的说明方法：
以12为例。我们把以12为分母，1~12为分子的分数列出，设为集合Q（共12个元素）：
Q = {1/12,2/12,3/12,...,11/12,12/12}
如果约分一下会得到：
Q = {1/12,1/6,1/4,1/3,5/12,1/2,7/12,2/3,3/4,5/6,11/12,1/1}
如果再整理一下，会发现：
Q = {1/1, 1/2, 1/3,2/3, 1/4,3/4, 1/6,5/6, 1/12,5/12,7/12,11/12}
发现它们对应12的因子（1,2,3,4,6,12）和与这些数互质的数。
1 :1
2 :1
3 :1 2
4 :1 3
6 :1 5
12:1 5 7 11
于是猜想：Q中12个元素就是12个（因子，与因子互质的数）数对，也是12所有的（因子，与因子互质的数）对。如果可以证明这个猜想，那么就证明了“n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n”。
现在我们不取12这个特殊值，直接取正整数(n)，并设集合(Q)为以(n)为分母、1~(n)为分子的数的集合。要证明上述猜想，只需证明下面两个事实：
-
集合(Q)中任意一个元素(q)，可以对应唯一一个（因子，与因子互质的数）数对。
显然，若(q=a/b)（已约分），那么(b)必为(n)的因数，(a,b)必然互质。上述事实成立。
-
(n)的任意一个（因子，与因子互质的数）数对，可以对应唯一一个集合(Q)中元素(q)。
设这个数对为((a,b))，那么(a)为(n)的因数且(a<b)，(a,b)互质，设(n=a*k(kin mathbb{N}^+))，则一定存在唯一元素(q=b*k/n)与之对应（分母(b*k<a*k=n)，当(a=1)时例外（(varphi(1)=1)），取等号（(b=a=1)），即对应元素(n/n)）。
由上述两个事实可知，(Q)中元素与（因子，与因子互质的数）数对是一一对应的关系（既不存在(Q)中元素无法对应数对，也不存在数对无法对应(Q)中元素），(Q)中元素的个数即为(n)的（因子，与因子互质的数）数对的个数，也就是“n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n”。
求欧拉函数
埃拉托斯特尼筛求欧拉函数
观察欧拉函数的公式，(varphi(x)=xprod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})}=xprod_{i=1}^n{frac{p_i-1}{p_i}})。我们用phi[x]表示(varphi(x))。可以一开始把phi[x]赋值为(x)，然后每次找到它的质因数就(phi[x]=phi[x]/p_i∗(p_i−1))（先除再乘，避免溢出）。当然，若只要求一个数的欧拉函数，可以从1到sqrt(n)扫一遍，若(gcd(i,n)=1)就更新phi[n]。复杂度为(O(log n))（代码就不给了）。那要求1~n所有数的欧拉函数呢？可以用埃拉托斯特尼筛的思想，每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。这个复杂度虽然不是(O(n))，但还是挺快的（据说是(O(n*ln ln n))，关于证明，可以点这里，虽然我看不懂）。
代码如下：
void euler(int n){
for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
for (int i=2;i<=n;i++){
if (phi[i]==i){//这代表i是质数
for (int j=i;j<=n;j+=i){
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//把i的倍数更新掉
}
}
}
}
欧拉筛求欧拉函数
前提是要懂欧拉筛。每个数被最小的因子筛掉的同时，再进行判断。i表示当前做到的这个数，prime[j]表示当前做到的质数，那要被筛掉的合数就是i*prime[j]。若prime[j]在这个合数里只出现一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互质时，则根据欧拉函数的积性函数的性质，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在这个合数里出现了不止一次（i%prime[j]=0），也就是这个合数的所有质因子都在i里出现过，那么根据公式，(varphi(i * prime[j])=prime[j] * i * prod_{k=1}^n{(1-frac{1}{p_k})} =varphi(i) *prime[j])。复杂度为(O(n))。
还是看代码吧：
void euler(int n){
phi[1]=1;//1要特判
for (int i=2;i<=n;i++){
if (flag[i]==0){//这代表i是质数
prime[++num]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++){//经典的欧拉筛写法
flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉
if (i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子
break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质
}
}
}
总结
有关欧拉函数的性质，只需做个了解，而求欧拉函数的代码，却是一定要会写的。这只是走进数论世界的第一步。