数学同步解析与测评选修2-3 P38第9题的快捷解法

题目

已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 (m) 个红球和 (n) 个蓝球 ((mge 3,nge3)), 从乙盒中随机抽取 (i)((i=1,2)) 个球放入甲盒中。(1) 放入 (i) 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 (xi_i)((i=1,2))；(2) 放入 (i) 个球后，从甲盒中取 (1) 个球是红球的概率记为 (p_i)((i=1,2)). 则 (p_1) 与 (p_2)，(E(xi_1)) 与 (E(xi_2)) 的大小关系是？

前置知识

(N) 个物品中有 (M) 个是不合格的，超几何分布描述了在这 (N) 个样本中选 (n) 个，其中有 (k) 个是不合格的概率

[P(X = k) = frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} ]

若随机变量 (X) 服从参数为 (n,M,N) 的超几何分布，则记为 (x sim H(n, M, N))

超几何分布的期望

[E(x) = frac{nM}{N} ]

证明

引理 1

由组合数公式可以得到 (k cdot C_M^k = M cdot C_{M - 1}^{k - 1})

引理 2

由组合数公式可以得到 (C_{N}^n = dfrac nN cdot C_{N - 1}^{n - 1})

引理 3

由超几何分布概率和为 (1)，即 (displaystyle sum_{k=0}^m P(X=k) = sum_{k = 0}^m frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} = 1)

可得 (displaystylesum_{k = 0}^m C_M^k C_{N - M}^{n - k} = C_N^n)

期望公式推导过程

[egin{aligned} E(x) &= sum_{k = 0}^m k cdot frac{C_M^k cdot C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \ &=frac{1}{C_N^n} sum_{k = 0}^m k C_M^K cdot C_{N - M}^{n - k}\ &=frac{1}{C_N^n} sum_{k = 1}^m M C_{M - 1}^{k - 1} C_{N - M}^{n - k} quad ext{（运用引理 1）}\ &=frac{M}{C_N^n} sum_{k = 1}^m C_{M - 1}^{k - 1}C_{N - M}^{n - k} quad ext{（运用引理 3）}\ &=frac{M}{C_N^n} C_{N - 1}^{n - 1} \ &=frac{nM}{N} quad ext{（运用引理 2）} end{aligned} ]

回归正题

设从乙盒中取出的 (i) 个球中红球个数为 (X)，则 (X sim H(i,m,m+n))，因此 (displaystyle E(X)=frac{im}{m+n}=frac{im}{m+n})

根据期望的线性性质，(displaystyle E(xi_i)=E(X+1)=E(X)+1=frac{im}{m+n}+1)

因此 (E(xi_1)<E(xi_2))

---

我们知道 (displaystyle p_i = frac{ ext{甲盒中红球个数}}{甲盒中总球数})

但是甲盒中红球个数有多种情况，每种情况 (xi_i=k) 对应的概率为 (P(xi_i=k))，所以

[egin{aligned} p_i &= sum_{ ext{$k$ 取遍 $xi_i$ 可能的取值}} P(xi_i=k)cdot frac{k}{i+1} \ &= frac{1}{i+1}sum_k P(xi_i=k)cdot k \ &= frac{E(xi_i)}{i+1} \ &= frac{frac{im}{m+n}+1}{i+1} \ &= frac{im + m+n}{(i+1)(m+n)} \ &= frac{m(i+1)}{(i+1)(m+n)} + frac{n}{(i+1)(m+n)} \ &= frac{m}{m+n} + frac{n}{(i+1)(m+n)} end{aligned} ]

因此 (p_1>p_2)