声明
本文基于人教版高中数学选修 2-3，本中随机变量均为离散型随机变量。
本文中 (displaystylesum_x) 为 (displaystylesum_{x in Range(X)})（(Range(X)) 表示随机变量 (X) 可能的取值的集合）的简写。
期望
期望的线性性质
[oxed{E(aX+b) = aE(X)+b}
]
课本上就有，证明略。
公式 1
[oxed{E(X+Y)=E(X)+E(Y)}
]
证明
[egin{aligned}
E(X+Y) &=sum_{x} sum_{y}(x+y) P(X=x, Y=y) \
&=sum_{x} sum_{y} x P(X=x, Y=y)+sum_{x} sum_{y} y P(X=x, Y=y) \
&=sum_{x} x sum_{y} P(X=x, Y=y)+sum_{y} y sum_{x} P(X=x, Y=y) \
&=sum_{x} x P(X=x)+sum_{y} y P(Y=y) \
&=E(X)+E(Y)
end{aligned}
]
公式 2
在 (X,Y) 相互独立的情况下，有
[oxed{E(XY)=E(X)E(Y)}
]
证明
由 (X,Y) 相互独立知 (P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y))
所以
[egin{aligned}
E(XY) &=sum_{x} sum_{y} xy P(X=x, Y=y) \
&=sum_{x} sum_{y} xy P(X=x)P(Y=y) \
&=sum_{x} x P(X=x)sum_{y} yP(Y=y) \
&=sum_{x} x P(X=x)E(Y) \
&=E(Y)sum_{x} x P(X=x) \
&=E(X)E(Y)
end{aligned}
]
方差
定义
[oxed{D(X)=sum_x (x-E(X))^2 P(X=x)}
]
换种写法
[oxed{D(X)=E(x-E(X))^2}
]
再换种写法
[egin{aligned}
D(X) &= E[X-E(X)]^2 \
&=E[X^2-2Xcdot E(X)+(E(X))^2] \
&=E(X^2)-2E(X)E(X)+(E(X))^2 \
&=E(X^2)-(E(X))^2
end{aligned}
]
即
[oxed{D(X)=E(X^2)-(E(X))^2 }
]
公式 1
[oxed{D(aX+b) = a^2D(X)}
]
课本上就有，证明略。
公式 2
在 (X,Y) 相互独立的情况下，有
[oxed{D(X+Y)=D(X)+D(Y)}
]
证明
[egin{aligned}
D(X+Y) &= E{(X+Y)^2 - (E(X+Y))^2} \
&= E{(X^2+Y^2+2XY) - (E(X)+E(Y))^2} \
&= E(X^2 - E^2(X)) + E(Y^2 - E^2(Y))+ E(2XY) - 2E(X) E(Y) \
&= D(X) + D(Y) + 0
end{aligned}
]
即：(D(X+Y) = D(X) + D(Y))
超几何分布
定义
(N) 个物品中有 (M) 个次品，超几何分布描述了在这 (N) 个样本中选 (n) 个，其中有 (k) 个次品的概率。
[P(X = k) = frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}
]
若随机变量 (X) 服从参数为 (n, M, N) 的超几何分布，则记为
[x sim H(n, M, N)
]
期望
若 (x sim H(n, M, N))，则
[oxed{E(X) = frac{nM}{N}}
]
证明
引理 1
由组合数公式可以得到 (k cdot C_M^k = M cdot C_{M - 1}^{k - 1})
引理 2
由组合数公式可以得到 (C_{N}^n = dfrac Nn cdot C_{N - 1}^{n - 1})
引理 3
由超几何分布概率和为 (1)，即 (displaystyle sum_{k=0}^m P(X=k) = sum_{k = 0}^m frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} = 1)
可得 (displaystylesum_{k = 0}^m C_M^k C_{N - M}^{n - k} = C_N^n)
推导过程
[egin{aligned} E(x) &= sum_{k = 0}^m k * frac{C_M^k * C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \ &=frac{1}{C_N^n} sum_{k = 0}^m k C_M^K * C_{N - M}^{n - k}\ &=frac{1}{C_N^n} sum_{k = 1}^m M C_{M - 1}^{k - 1} C_{N - M}^{n - k}\ &=frac{M}{C_N^n} sum_{k = 1}^m C_{M - 1}^{k - 1}C_{N - M}^{n - k}\ &=frac{M}{C_N^n} C_{N - 1}^{n - 1} \ &=frac{nM}{N} end{aligned}
]
方差
[D(x) = {n(frac{M}{N})(1-frac{M}{N})(N-n) over (N-1)}
]
二项分布
定义
二项分布（Binomial distribution）是 (n) 个 独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为 (p)。这样的单次成功/失败试验又称为 伯努利试验。
实际上，当 (n = 1) 时，二项分布就是两点分布。
一般地，如果随机变量 (X) 服从参数 (n) 和 (p) 的二项分布，我们记 (x sim b(n, p)) 或 (X sim B(n, p)). (n) 次试验中正好得到 (k) 次成功的概率为
[P(x = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n- k}
]
期望
若 (Xsim B(n,p))，则
[oxed{E(x) = np}
]
证明
简单的证明
记
[x_i = egin{cases}
1 & ext{第 $i$ 次试验成功}\
0 & ext{第 $i$ 次试验不成功}
end{cases}
]
显然 (E(x_i)=p)
由于 (X=x_1+x_2+cdots+x_n)，根据期望的线性性质，
(E(X) = E(x_1) + E(x_2) + cdots + E(x_n) = np)
复杂的证明
记 (q = 1-p)，那么
[egin{aligned}
E(X) &= sum_{k=0}^n k P(X=k)\
&= sum_{k=0}^n k C_{n}^{k}p^kq^{n-k} \
&= sum_{k=1}^n k C_{n}^{k}p^kq^{n-k} \
&= psum_{k=1}^n nC_{n-1}^{k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\
&= npsum_{k=1}^n C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \
&= npcdot (p+q)^{n-1} qquad ext{（二项式定理）}\
&= np
end{aligned}
]
方差
[oxed{D(x) = np(1 - p)}
]
证明
简单的方法
类似于期望的那种证明方法。
复杂的方法
[egin{aligned}
D(X) &=sum_{k=0}^{n}left[k-E(X)
ight]^{2} cdot p_{k}=sum_{k=0}^{n}(k-n p)^{2} cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \
&=sum_{k=0}^{n} k^{2} cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}+sum_{k=0}^{n}-2 n p k cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}+sum_{k=0}^{n} n^{2} p^{2} cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \
&=sum_{k=0}^{n}(k-1) cdot k cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}+sum_{k=0}^{n} k cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}-2 n p sum_{k=0}^{n} k cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \
&+n^{2} p^{2} sum_{k=0}^{n} mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \
&=sum_{k=1}^{n}(k-1) cdot k cdot mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}+n p-2 n p cdot n p+n^{2} p^{2} \
&=n sum_{k=2}^{n}(k-1) cdot mathrm{C}_{n-1}^{k-1} p^{k} q^{n-k}+n p-n^{2} p^{2} \
&=n(n-1) p^{2} sum_{k=2}^{n} mathrm{C}_{n-2}^{k-2} p^{k-2} q^{(n-2)-(k-2)}+n p-n^{2} p^{2} quad( ext{令} k-2=i) \
&=n(n-1) p^{2} sum_{i=0}^{n-2} mathrm{C}_{n-2}^{i} p^{i} q^{(n-2)-i}+n p-n^{2} p^{2} \
&=n(n-1) p^{2}+n p-n^{2} p^{2} \
&=n p q
end{aligned}
]