【原】概率论——第一章第2节

第一章 随机事件与概率

1.2 概率的定义

一 事件域

事件域的定义：设$Omega$为一样本空间，$mathcal{F}$为$Omega$的某些子集所组成的集合类，如果$mathcal{F}$满足：

1. $Omega in mathcal{F}$；
2. 若$A in mathcal{F}$，则对立事件$overline A in mathcal{F}$；
3. 若$A_n in mathcal{F},quad n=1,2,cdots$，则可列并$igcuplimits_{n=1}^{+infty} A_n in mathcal{F}$。

我们称$mathcal{F}$为一个事件域，又称为$sigma$代数。

例1 常见的事件域：

• 若样本空间只含两个样本点：$Omega={omega_1,omega_2}$，记$A={omega_1}$，$overline A={omega_2}$,则事件域为$mathcal{F}={emptyset,A,overline A,Omega}$；
• 设$Omega$是一个样本空间，$AsubsetOmega$（可测），则$F_1={emptyset,Omega}$，$F_2={emptyset,A,overline A,Omega}$都是事件域；
• 若样本空间含有$n$个样本点：$Omega={omega_1,omega_2,cdots,omega_n}$，则其事件域$mathcal{F}$是由空集$emptyset$，$n$个单元素，${nchoose 2}$个双元素，${nchoose 3}$个三元素，$cdots$和$Omega$组成的集合类。这时$mathcal{F}$中共有${nchoose 0}+{nchoose 1}+cdots+{nchoose n}=2^n$个事件;
• 设$Omega=(a,b)$（区间），则$F={(a,b)上的全部可测集}$也是事件域。

二 概率的公理化定义

设$Omega$为一个样本空间，$mathcal{F}$为$Omega$的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件$A in mathcal{F}$，定义在$mathcal{F}$上的一个实值函数$P(A)$满足：

1. 非负性公理：若$A in mathcal{F}$，则$P(A)ge 0$；
2. 正则性公理：$P(Omega)=1$；
3. 可列可加性公理：若$A_1,A_2,cdots,A_n,cdots$互不相容，有$$P(igcuplimits_{i=1}^{+infty} A_i)=sum limits_{i=1}^{+infty} P(A_i)$$

则称$P(A)$为事件$A$的概率，称三元素$(Omega,mathcal{F},mathcal{P})$为概率空间。