题目描述 Description 邪教喜欢在各种各样空间内跳。 现在，邪教来到了一个二维平面。在这个平面内，如果邪教当前跳到了(x,y)，那么他下一步可以选择跳到以下4个点：(x-1,y), (x+1,y), (x,y-1), (x,y+1)。 而每当邪教到达一个点，他需要耗费一些体力，假设到达(x,y)需要耗费的体力用C(x,y)表示。 对于C(x,y)，有以下几个性质： 1、若x=0或者y=0，则C(x,y)=1。 2、若x>0且y>0，则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。 3、若x<0且y<0，则C(x,y)=无穷大。 现在，邪教想知道从(0,0)出发到(N,M)，最少花费多少体力（到达(0,0)点花费的体力也需要被算入）。 由于答案可能很大，只需要输出答案对10^9+7取模的结果。 输入描述 Input Description 读入两个整数N，M，表示邪教想到达的点。 输出描述 Output Description 输出仅一个整数，表示邪教需要花费的最小体力对10^9+7取模的结果。 样例输入 Sample Input 1 2 样例输出 Sample Output 6 数据范围及提示 Data Size & Hint 对于10%的数据，满足N, M<=20； 对于30%的数据，满足N, M<=100； 对于60%的数据，满足min(N,M)<=100； 对于100%的数据，满足0<=N, M<=10^12，N*M<=10^12。
芒果君：一天没学OI了，写篇博文收收心。这道题，乍一看，棋盘dp；再乍一看，啊，这不是大明湖畔的杨辉、三角，组合数学题。贪心不难想，长边沿着0行列走，短边深入内部。设长边为n，短边为m，最小体力为n+ΣC（i,n+i）i=0--->i=m. %mod。
难道这样就完了吗？不可能！辣么大的数据摆着呢。上面那个西格玛什么什么可以化成C（n+m+1,n），于是这道题变得更加玄学了。
正在翻题解的我突然看到了一个陌生的定理——lucas定理，用于大组合数求模，需要递归调用。（PS：我现在对递归有点害怕，因为上次调并查集的时候炸栈了QAQ）具体公式为lucas(n,m)=C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod) (递归边界为m=0时返回1)
在代码的19--25行感觉不太理解？我发现问题越来越多了……首先要引进一个“乘法逆元”的概念，它是数论意义上的倒数：如果ax≡1 (mod p)(即ax%p==1%p)且gcd(a,p)=1（即a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。接着使用费马小定理，如果a、p互质，a^(p-1)≡1 (mod p) ==>a*a^(p-2)≡1 (mod p)，把x换成a^(p-2)就可以用快速幂求出来了。那么24行是shenmegui，难道算组合数不应该用除法？这样想，除以一个数是乘这个数的倒数，乘法逆元不就是这个数的倒数~这样就完美解决了大整数mod的问题~
作为一个刚学组合数的数学渣，我之前一直没理解下面的公式是怎么推的。如果你也和我一样，请自己手动举几个例子就出来了：C（n+m+1,m）=Πn+1+1->n+m+1/m! 上面是后m个数连乘除以下面的前m个数。
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #define ll long long 6 #define mod 1000000007 7 using namespace std; 8 ll n,m; 9 ll ksm(ll x,ll y) 10 { 11 ll ret=1; 12 while(y){ 13 if(y&1) ret=ret*x%mod; 14 y>>=1; 15 x=x*x%mod; 16 } 17 return ret; 18 } 19 ll C(ll x,ll y) 20 { 21 ll k1=1,k2=1; 22 for(int i=x-y+1;i<=x;++i) k1=k1*i%mod; 23 for(int i=1;i<=y;++i) k2=k2*i%mod; 24 return (k1*ksm(k2,mod-2))%mod; 25 } 26 ll lucas(ll x,ll y) 27 { 28 if(!y) return 1; 29 return C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod)%mod; 30 } 31 int main() 32 { 33 scanf("%lld%lld",&n,&m); 34 printf("%lld",(max(n,m)+lucas(n+m+1,min(n,m)))%mod); 35 return 0; 36 }
（这篇博文写的我心累啊QAQ~~~~）