分组背包

问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
算法
这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：
f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}
使用一维数组的伪代码如下：
for 所有的组k
    for v=V..0
        for 所有的i属于组k
            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
注意这里的三层循环的顺序，甚至在本文的第一个beta版中我自己都写错了。“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。
另外，显然可以对每组内的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。
小结
分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如P07），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

在hdu上发现1712这道题跟P06讲解得思路一模一样，一不小心就把它A了，不过一些稍微为复杂的就得好好考虑了，譬如hdu3033

hdu1712

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>

using namespace std;

#define max(a,b) (a>b?a:b)

int N,M;
int A[101][101];
int f[101];

void GroupPack() //跟P06所讲一模一样，直接照着思路敲就行了。
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=N;i++)
        for(j=M;j>=0;j--)
            for(k=1;k<=j;k++)
                f[j]=max(f[j],f[j-k]+A[i][k]);
    cout<<f[M]<<endl;
}

int main()
{
   //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(cin>>N>>M)
    {
        if(N==0&&M==0) break;
        for(int i=1;i<=N;i++)
            for(int j=1;j<=M;j++)
                cin>>A[i][j];
        GroupPack();
    }
    return 0;
}

dp之分组背包hdu1712

题意：有n门课程，和m天时间，完成a[i][j]得到的价值为第i行j列的数字，求最大价值......

思路：分组背包，就是第n门课程，可以做一天，可以做两天，但它们相斥，你做了一天，就不能再做一天...也就是不能再做这门课程了......

当然这是最多取一个的算法....