Description
Given a consecutive number sequence S 1, S 2, S 3, S 4 ... S x, ... S n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S i + ... + S j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i 1, j 1) + sum(i 2, j 2) + sum(i 3, j 3) + ... + sum(i m, j m) maximal (i x ≤ i y ≤ j x or i x ≤ j y ≤ j x is not allowed).
But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i x, j x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^
Input
Process to the end of file.
Output
Sample Input
Sample Output
Hint
Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.
题意是输入m,n。
m为你要求的子段个数，n为数据个数。
由于是很早的题型了，但是理解起来还是很是无力。
并于是用了三天来搞懂此类问题。发现网上大多代码无思路整个过程。
就大致讲解一下DP的整个思路。
我们可以很清楚地得，这是一个顺序DP，由ix<=iy可得。
那它在当前位置或者称为状态，又能做出几个决策才能保证到目前状态是最大的呢？
当然是逐步取其上一状态的最大值。
综上所述就可以得此模糊状态转移方程：dp[i][j] =MAX(dp[?][?],dp[??][??]) （或者是三个或者更多）。
下面我们来找它转移方程的本质：
设dp[i][j] 为前j个数字组成i段的最大和。（前提是i<=j ,这是显而易见的，当小于的时候不能组成i段）
所要达到的状态 :dp[i][j].
需要的条件：1、前j-1个数，组成i段的最大和 ；2、前j-1个数，组成的i-1段的最大和。
解释：由dp[i-1][j-1]到dp[i][j]，指的是当前第j个数单独为一段，dp[i][j-1]->dp[i][j]，第j个数接在第i段后面。
继续深入：我们是要求dp[i-1][j-1],dp[i][j- 1]的最大值。那么i段就是在当前这个循环更新i->n状态的，所以dp[i][j-1]时刻在更新，反之，当前dp[i-1][j-1]的状态没 有得到更新，那么我们就要加入这个j号元素进入时的更新保证dp[i-1][j-1]是当前可满足状态中最大的。
完全的动态规划转移方程dp[i][j]=MAX(dp[i][j-1],dp[i-1][k]) 其中i<=k<=j。
回头再看：n的最大值为100W，二维数组出来就需要巨额的空间。但是想象，当前需要更新的状态是不是就与当前上一状态和上一层的状态有关。
最终解决办法：采用滚动数组（或者两个一维数组）。
下面有两种转移方程的格式，其中也有一点不同，具体代码如下：
#include<cstdio> #include<cstring> #define MIN -(1<<30) #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define M 1000001 int dp[2][M],num[M],n,m,max; int main(){ while(~scanf("%d %d",&m,&n)){ int i=1,j,t=1; while(i<=n) scanf("%d",&num[i]),dp[0][i]=dp[1][i]=0,i++; for(i=1;i<=m;i++,t=!t){ dp[t][i]=dp[!t][i-1]+num[i]; dp[!t][i]=Max(dp[!t][i],dp[!t][i-1]); for(j=i+1;j<=n-m+i;j++){ dp[t][j]=Max(dp[!t][j-1],dp[t][j-1])+num[j]; dp[!t][j]=Max(dp[!t][j],dp[!t][j-1]); } } max=MIN; for(i=m;i<=n;i++) max=Max(dp[m&1][i],max); printf("%d ",max); } return 0; }
第二种方法只有一出有所不通，就是采用两个一维数组进行更新：
dp[],t[]，但是更值得注意的是，只有dp[j]是当前的状态，而t[k] (i<=k<=j)是当前状态的原状态，所以t[j-1]实际上是代替了方法中的dp[i][j-1]，
换言之。就是t[]中 i->j 是接在dp[j]后面的。而dp[i->j],是上一层的状态。这也是为什么t[j-1]要用max来保存，它表示的是当前层的最大值。
不知道有没有讲清楚。
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; #define maxn 1000003 #define INF 100000000 int dp[maxn],a[maxn],pre[maxn]; int main(){ int n, m, i, j, maxx; while(~scanf("%d%d",&m,&n)){ for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); dp[0]=0; memset(pre,0,sizeof(pre)); for(i=1;i<=m;i++){ maxx =-INF; for(j=i;j<=n;j++){//对于每个i，随着j的增大，maxx越滚越大 dp[j]=max(dp[j-1],pre[j-1])+a[j]; pre[j-1]=maxx;//把前一轮的最大值赋给pre； printf("dp[%d]=%d pre[%d]=%d ",j,dp[j],j-1,pre[j-1]); maxx=max(maxx,dp[j]); } puts(""); } printf("%d ",maxx);//最后一轮的最大值就是答案。 //因为上一个循环中对于每个i，随着j的增大，maxx越滚越大 } //而且pre也是越滚越大的。 return 0; } //给了一组数据，不理解就把所有DP打出来，自己手动模拟一遍，这样好理解多了 /* 4 6 2 -4 5 6 -8 10 */