由韩信点兵 到中国剩余定理 再到逆元

韩信点兵的小故事 

3人报数 五人报数 七人报数 

各余a b c，求军队可能最少人数

物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》.原题为：”今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,问物几何?”

例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法： 
三人同行七十稀, 
五树梅花甘一枝, 
七子团圆正半月, 
除百零五便得知. 

 （d=70×a+21×b+15×c  >105）mod105;

 最后的 d 为所求值。

 70  21  15 怎么来的呢 》？ 如下 中国剩余定理

  

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设  是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设

  

为

  

模

  

的数论倒数(

  

为

  

模

  

意义下的逆元)   

 

方程组

  

的通解形式为      

 

 

在模  

的意义下，方程组

  

只有一个解：  

 

  x= a*2*35+b*1*21+c*1*15

 

 

例如：试求一数,使之用4除余m,用5除余n,用7除余k ，

 由以上方法可得  （105m+56n+120k ）mod 140

（ 一组值m，n，k  3 2  5  ，该数为  （（105*3+ 56*2+120*5）mod 140 = 47 .）

 

剩余定理给出的通解形式关键是求出  ti 即（Mi 模 mi 意义下的逆元）

 so？ 问题又转到了求逆元 

 

欧几里得求逆元 https://www.cnblogs.com/cenariusxz/p/4323872.html

#include<stdio.h>
#define ll long long

void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

int main(){
    ll a,b,d,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        gcd(a,b,d,x,y);
        printf("%lld*%lld+%lld*%lld=%lld
",a,x,b,y,d);
    }
    return 0;
}

欧几里得 快速幂 费马小定理求逆元

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll extendGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    ll ans,t;
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ans=extendGcd(b,a%b,x,y);
    t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    return ans;
}
//返回x，a*x=1(mod m)
ll getInv(ll a,ll m){
    ll x,y,d;
    d=extendGcd(a,m,x,y);
    if(d==1)
        return (x%m+m)%m;
    else
        return -1;
}
long long euler(long long x)
{
    long long res=x;
    for(long long i=2;i<(int)sqrt(x*1.0)+1;i++)
        if(x%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    if(x>1)
        res=res/x*(x-1);
    return res;
}
//如果m是1000000007这样的素数用费小求逆元
long long quickpowmod(long long x, long long y, long long mod)
{
      long long ret = 1;
      while(y){
         if(y&1)
             ret = ret*x%mod;
         x = x*x%mod;
         y >>= 1;
     }
     return ret;
 }


int main()
{
    ll a,m;
    while(cin>>a>>m){
        cout<<getInv(a,m)<<endl;  //m不是素数
        cout<<quickpowmod(a,m-2,m)<<endl; //m是素数
    }

    return 0;
}

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