定义:Mp=2p-1,当p为素数,且Mp为素数,则称Mp为梅森素数
当p为第几个素数,则称Mp为第几个梅森数
判定:
Lucas-Lehmer判定法:判定一个梅森数是否是梅森素数
设p是素数,第p个梅森数为Mp为2p-1,r1 = 4,对于k >= 2
r(k) = r(k-1)^2-2(modM(p)), 0 <= r(k) <= M(p)
可以得到r(k)序列,则有M(p)是素数,当且仅当r(p-1) = 0(mod M(p))
涉及知识:
卢卡斯-莱默检验法原理
假设我们想验证M3 = 7是素数。我们从s=4开始,并更新3−2=1次,把所有的得数模7:
-
s ← ((4 × 4) − 2) mod 7 = 0
由于我们最终得到了一个能被7整除的s,因此M3是素数。
另一方面,M11 = 2047 = 23 × 89就不是素数。我们仍然从s=4开始,并更新11−2=9次,把所有的得数模2047:
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s ← ((4 × 4) − 2) mod 2047 = 14
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s ← ((14 × 14) − 2) mod 2047 = 194
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s ← ((194 × 194) − 2) mod 2047 = 788
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s ← ((788 × 788) − 2) mod 2047 = 701
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s ← ((701 × 701) − 2) mod 2047 = 119
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s ← ((119 × 119) − 2) mod 2047 = 1877
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s ← ((1877 × 1877) − 2) mod 2047 = 240
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s ← ((240 × 240) − 2) mod 2047 = 282
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s ← ((282 × 282) − 2) mod 2047 = 1736
由于s最终仍未能被2047整除,因此M11=2047不是素数。但是,我们从这个检验法仍然无法知道2047的因子,只知道它的卢卡斯-莱默余数1736。
思路:输入p,先求出2p-1,循环求r(k) = (r(k-1)2-2)%Mp
while((p--) > 2) { r=(mul(r,r,n)-2+n)%n; } if(r % n == 0) puts("yes"); else puts("no");
题目大意:输入一个p,判断Mp是否为梅森素数,是输出"yes"不是输出"no"
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll mul(ll a, ll b, ll mod) { ll ans = 0; while(b) { if(b&1) ans = (ans + a) % mod; b = b >> 1; a = (a << 1) % mod; } return ans; } int main() { int t, p; cin>>t; while(t--) { cin>>p; ll n=((ll)1<<p)-1;//计算2^10-1的值 ll r=4; if(p == 2) puts("yes");//特判 else { while((p--) > 2) { r=(mul(r,r,n)-2+n)%n; } if(r % n == 0) puts("yes"); else puts("no"); } } return 0; }