【BZOJ4555】[Tjoi2016&Heoi2016]求和【斯特林数】【FFT/NTT】

题解：
先推一波公式。
这是一个容斥原理的式子：S(n,m)=1m!∑mk=0(−1)kCkm(m−k)n$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^k(m-k{)}^n$
就是枚举有多少个盒子是空的，容斥一下。由于盒子是一样的，所以最后要除以m!。
=>S(n,m)=1m!∑mk=0(−1)km!k!(m−k)!(m−k)n$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k\frac{m!}{k!(m-k)!}(m-k{)}^n$
=>S(n,m)=∑mk=0(−1)k1k!(m−k)!(m−k)n$S(n,m)=\sum _{k=0}^m(-1{)}^k\frac{1}{k!(m-k)!}(m-k{)}^n$
=>S(n,m)=∑mk=0(−1)kk!(m−k)n(m−k)!$S(n,m)=\sum _{k=0}^m\frac{(-1{)}^k}{k!}\frac{(m-k{)}^n}{(m-k)!}$
我们再看过来要求的式子。
f(n)=∑ni=0∑ij=0S(i,j)2jj!$f(n)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^{i}S(i,j)2^{j}j!$
=>f(n)=∑ni=0∑nj=0S(i,j)2jj!$f(n)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^{n}S(i,j)2^{j}j!$
=>f(n)=∑nj=02jj!∑ni=0S(i,j)$f(n)=\sum _{j=0}^n{2}^{j}j!\sum _{i=0}^{n}S(i,j)$
=>f(n)=∑nj=02jj!∑ni=0∑jk=0(−1)kk!(j−k)i(j−k)!$f(n)=\sum _{j=0}^n{2}^{j}j!\sum _{i=0}^n\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k}{k!}\frac{(j-k{)}^i}{(j-k)!}$
=>f(n)=∑nj=02jj!∑jk=0(−1)kk!∑ni=0(j−k)i(j−k)!$f(n)=\sum _{j=0}^n{2}^{j}j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k}{k!}\sum _{i=0}^n\frac{(j-k{)}^i}{(j-k)!}$
于是我们可以预处理∑jk=0(−1)kk!$\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k}{k!}$和∑ni=0(j−k)i(j−k)!$\sum _{i=0}^n\frac{(j-k{)}^i}{(j-k)!}$的值，然后就可以NTT卷积求解啦！
代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=270005;
const ll mod=998244353;
int n,m,rev[N];
ll ans,jc[N],a[N],b[N];
ll fastpow(ll a,ll x){
    ll res=1;
    while(x){
        if(x&1){
            res=res*a%mod;
        }
        x>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
ll getinv(ll x){
    return fastpow(x,mod-2);
}
void ntt(ll *a,int dft){
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i<rev[i]){
            swap(a[i],a[rev[i]]);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        ll wn=fastpow(3,(mod-1)/i/2);
        if(dft==-1){
            wn=getinv(wn);
        }
        for(int j=0;j<n;j+=i<<1){
            ll w=1,x,y;
            for(int k=j;k<j+i;k++,w=w*wn%mod){
                x=a[k];
                y=w*a[k+i]%mod;
                a[k]=(x+y)%mod;
                a[k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(dft==-1){
        ll inv=getinv(n);
        for(int i=0;i<n;i++){
            a[i]=a[i]*inv%mod;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&m);
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    }
    for(int i=0;i<=m;i++){
        a[i]=(fastpow(-1,i)*getinv(jc[i])+mod)%mod;
    }
    b[0]=1;
    b[1]=m+1;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        b[i]=(fastpow(i,m+1)-1)*getinv(i-1)%mod*getinv(jc[i])%mod;
    }
    for(n=1;n<=m*2;n<<=1);
    for(int i=0;i<n;i++){
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
    }
    ntt(a,1);
    ntt(b,1);
    for(int i=0;i<n;i++){
        a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    }
    ntt(a,-1);
    for(int i=0;i<=m;i++){
        ans=(ans+fastpow(2,i)*jc[i]%mod*a[i]%mod)%mod;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;