Josephus

第二次坑在了约瑟夫问题上，话说模拟的约瑟夫我还没过掉，emmm

 题目：一开始有$n$个人围成一个圈, 从$1$开始顺时针报数,

报出$m$的人被机关处决. 然后下一个人再从$1$开始报数, 直到只剩下一个人. 

只讲公式递推法喽

 首先，钦定序列的下标全部减一，为了取模运算不需特判$0$的情况

把每次操作的序列按时间放在一起是一个倒三角形状，考虑倒推，那么最后一次也就是长度为$1$时，

$x$在最后一次的那个序列里为$0$。考虑把它转移到长度为$2$，即求出在长度为$2$时，$x$在这个序

列里的位置。长度为$1$的序列的第一个点，相当于这个点在$len=2$的序列中，它的前面的点，要么

被删出去了，要么挪到了这个点的后面，然后只要找到在$len=2$时，$len=1$的$1$点的位置，那么，

就有了$x$在$len=2$时的位置

转移$len=i$式子为$pos=(m+pos) mod i$

简单口胡：

先找到$len=i-1$序列中$1$在$len=i$序列中位置，为$(m-1) mod i$

然后在这个位置数$pos-1$个，$pos=((m-1) mod i+pos-1) mod i$

递退到最后，答案为$pos+1$

至于模拟题

$n<=1e9$，需要一个有效的优化，考虑柿子$pos=(pos+m) mod i$中取模在大部分时间可能没用

结合图可以发现，随着$i$在变大，+m越来越不能使$pos$跳到前面，那么可以算一个$k$使得$pos$可以直接跳一大段

则有不等式$k*m+pos<k+i-1$，每次算出即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
inline int minn(int a,int b){return a<b?a:b; }
int T,n,m;
int main(){
    //freopen("da.in","r",stdin);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int pos=0;
        for(int i=2,k;i<=n;){
            //k*m+pos<k+i
            //pos=(m+pos)%i;
            //cout<<(i-pos-1)/(m-1)-1<<endl;
            k=0;
            if(((i-pos-1)/(m-1)-1)>=0)k=minn(n-i+1,(i-pos-1)/(m-1)-1);
            i+=k;pos+=k*m;
            //cout<<i<<" "<<pos<<endl;
            if(i<=n){
                pos=(pos+m)%i;
                ++i;
            }
        }
        printf("%d
",pos+1);
    }
    return 0;
}

 来自迪神

至于时间复杂度，肯定$O(能过)$，简单研究一下发现，在$len<=m$，那么每次只能减$1$，当$len>m$时，几乎都是每次$*(frac{m-1}{m})$，即为$n*(frac{m-1}{m})^k=m$

为$O(m+log_{frac{m-1}{m}}frac{m}{n})$