POJ1430_UVA1118

题目连接

POJ1430

题目概述

        判断第二类(stirling)数(S(n,m))的奇偶性.数据规模(n)很大,((1 leq n leq 10^9)).

不算方法的做法

        因为(S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)),当(m)为偶数的时候,(S(n,m))的奇偶性与(S(n-1,m-1))一样;当(m)为奇数的时候,(S(n,m))的奇偶性和(S(n-1,m)+S(n-1,m-1))一样(为奇数的话,(m)可以替换为1,不改变奇偶性.然后得到一个式子:

[S^*(n,m)= egin{cases} S^*(n-1,m-1), quad if\, m\%2 = 0\ S^*(n-1,m)+S^*(n-1,m-1),quad if\, m\%2 =1 end{cases} ]

这样得到的(S^*(n,m))与(S(n,m))的奇偶性是一样的.对于(S^*(n,m))当(m)为奇数时和组合数的递推式一样,因为(S^*(n-1,m-1)=S*(n-2,m-2),((m-1)\%2=0)),所以(S^*(n,m))的结果与(m)列和(m-2)列有关,如果把奇数列单独拎出来的话,和组合数那个系数表很像:

第一列是(C_{n'}^0),第二列是(C_{n'}^1),(cdots).第(m)列对应的应该是(C_{n'}^{m/2}).行的关系算出来是(n'=n-1-m/2).这(m)是奇数时的情况,用同样的方法可以推出偶数时的关系,最后可以同一成这个:

[S^*(n,m)=C_{n-1-m/2}^{frac{m+1}{2}-1} ]

        对于组合数(C_n^m)奇偶性的判断有这样一个快速的方法,如果(n&m=m),那么是奇数,否则是偶数.

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100;

void solve(int n, int m) {
    if( m > n){
        cout<< "0"<<endl;
        return;
    }else if( m == n){
        cout<< "1"<<endl;
        return;
    }else if( n * m == 0 ){
        cout << "0" << endl;
        return;
    }
    int x = n - 1 - m/2;
    int y = (m+1)/2 - 1;
    if( (x & y) == y){
        cout<<"1"<<endl;
    }else{
        cout<<"0"<<endl;
    }
}

int main(int argc, const char** argv) {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        solve(n, m);
    }
    return 0;
}

补充