旋转变换的指数形式
用单位向量$hat{omega}$代表旋转轴，以及$ heta$代表绕该轴的旋转角度。则可以用三维向量$hat{omega} hetainmathbb{R}^3$以指数形式来描述旋转。如果将$hat{omega}$和$ heta$分开描述，即为Axis-Angle形式。用$hat{omega} heta$来描述旋转矩阵R可以有下面几种理解方法：
- 某坐标系初始与参考坐标系{s}重合，绕轴$hat{omega}$旋转$ heta$角度后当到达当前姿态，其相对于{s}的旋转矩阵为R。这种描述方法为 Axis–angle representation
- 角速度矢量$hat{omega} heta$ 在参考坐标系{s}中描述，某坐标系初始与参考坐标系{s}重合，以角速度$hat{omega} heta$转动，经过单位时间到达当前姿态（可由矩阵R表示）。
- 角速度矢量$hat{omega}$在参考坐标系{s}中描述，某坐标系初始与参考坐标系{s}重合，以角速度$hat{omega}$转动，经过$ heta$时间到达当前姿态（可由矩阵R表示）。
- Essential Results from Linear Differential Equations Theory
考虑下面的一阶线性微分方程：$$dot{x}(t)=Ax(t)$$
其中，$x(t)inmathbb{R}^n$，$Ainmathbb{R}^{n imes n}$是一个常量矩阵。若给出初始条件$x(0)=x_0$，则可得到微分方程的解为：$$x(t)=x_0e^{At}$$
矩阵指数$e^{At}$可以根据泰勒展开式来计算：$$e^{At}=I+At+frac{(At)^2}{2!}+frac{(At)^3}{3!}+...$$
如果矩阵$A$可以表达成$A=PDP^{-1}$，$P$为可逆矩阵，则有：
$$egin{align*} e^{At}&=I+At+frac{(At)^2}{2!}+frac{(At)^3}{3!}+...\
&=I+(PDP^{-1})t+(PDP^{-1})(PDP^{-1})frac{t^2}{2!}+...\
&=P(I+Dt+frac{(Dt)^2}{2!}+...)P^{-1}\
&=Pe^{Dt}P^{-1}
end{align*}$$
更进一步，如果$A$可以对角化，即$D$是对角矩阵：$D=diag{d_1,d_2,...,d_n}$，则$e^{Dt}$可以很方便的计算：
$$e^{Dt}=egin{bmatrix}
e^{d_1t} & 0 & cdots & 0 \
0 & e^{d_2t} & cdots & 0 \
vdots & vdots & ddots &vdots \
0 & 0 & cdots & e^{d_nt}
end{bmatrix}$$
- Exponential Coordinates of Rotations
参考下图中的描述，假设三维向量$p(0)$绕着转轴$hat{omega}$旋转$ heta$度后到达$p( heta)$。用$p(t)$代表$t$时刻向量$p$的位置，则该过程也可以描述为：$p(0)$以角速度$hat{omega}$旋转（$hat{omega}$为单位角速度），从$t=0$运动到$t= heta$。
旋转时的速度可用$dot{p}$来描述，且有：$$dot{p}=hat{omega} imes p$$
用斜对称矩阵$[hat{omega}]$可以将向量叉乘变为矩阵与向量乘法，因此上面的微分方程可写为：$$dot{p}=[hat{omega}]p$$
若$hat{omega}=[omega_x,omega_y,omega_z]^T$，定义斜对称矩阵$[hat{omega}]$：
$$[hat{omega}]=egin{bmatrix}
0 & -omega_z & omega_y \
omega_z & 0 & -omega_x\
-omega_y & omega_x & 0
end{bmatrix}$$
已知初始条件$p(0)$，该方程形式如前面研究过的$dot{x}=Ax$，因此其解为：$p(t)=e^{[hat{omega}]t}p(0)$
由于变量$t$和$ heta$可互换，则上面方程可写为：$$p( heta)=e^{[hat{omega}] heta}p(0)$$
下面将$e^{[hat{omega}]t}$进行泰勒展开，计算斜对称矩阵$[hat{omega}]$的幂可得关系式：$[hat{omega}]^3=-[hat{omega}]$，利用这一关系我们可以将$[hat{omega}]^3$替换为$-[hat{omega}]$，$[hat{omega}]^4$替换为$-[hat{omega}]^2$，$[hat{omega}]^5$替换为$-[hat{omega}]^3$...于是可以得到：
$$egin{align*} e^{[hat{omega}] heta}&=I+[hat{omega}] heta+[hat{omega}]^2frac{ heta^2}{2!}+[hat{omega}]^3frac{ heta^3}{3!}+...\ &=I+( heta-frac{ heta^3}{3!}+frac{ heta^5}{5!}-...)[hat{omega}]+(frac{ heta^2}{2!}-frac{ heta^4}{4!}-frac{ heta^6}{6!}-...)[hat{omega}]^2end{align*}$$
根据正弦和余弦函数的泰勒展开式：
$$egin{align*} sin heta&= heta-frac{ heta^3}{3!}+frac{ heta^5}{5!}-...\
cos heta&=1-frac{ heta^2}{2!}+frac{ heta^4}{4!}-...end{align*}$$
可以将上面公式进行简化。给定$hat{omega} hetainmathbb{R}^3$，其中$ heta$为任意标量，$hat{omega}inmathbb{R}^3$且为单位向量。则根据$[hat{omega}]$、$ heta$进行旋转的旋转矩阵为：$$oxed{Rot(hat{omega}, heta)=e^{[hat{omega}] heta}=I+sin heta[hat{omega}]+(1-cos heta)[hat{omega}]^2}$$
该公式也称为Rodrigues’ formula（罗德里格斯公式） 。
举个例子，下图中坐标系{b}相对于固定参考坐标系{s}的姿态可以描述为：初始时刻两坐标系一致，{b}绕单位向量$hat{omega_1}=(0,0.866,0.5)$旋转$ heta_1=30^°=0.524rad$后到达当前姿态。
则{b}相对于{s}的旋转矩阵可以计算为：
$$egin{align*}
R&=e^{[hat{omega_1}] heta_1}=I+sin heta_1[hat{omega_1}]+(1-cos heta_1)[hat{omega_1}]^2 \
&=I+0.5egin{bmatrix}0&-0.5&0.866\0.5&0&0\-0.866&0&0end{bmatrix}+0.134egin{bmatrix}0&-0.5&0.866\0.5&0&0\-0.866&0&0end{bmatrix}^2\
&=egin{bmatrix}0.866&-0.250&0.433\0.250&0.967&0.058\-0.433&0.058&0.899end{bmatrix}
end{align*}$$
坐标系{b}的姿态可由矩阵$R$描述，或者由单位向量$hat{omega_1}=(0,0.866,0.5)$以及转角$ heta_1=0.524rad$来描述，即旋转矩阵R的指数坐标为$hat{omega_1} heta_1=(0,0.453,0.262)$
在Mathematica中RotationMatrix函数可以根据转轴和转角计算旋转矩阵：
- Matrix Logarithm of Rotations
如果向量$hat{omega} hetainmathbb{R}^3$表达了旋转矩阵R的指数坐标，则斜对称矩阵$[hat{omega} heta]=[hat{omega}] heta$是旋转矩阵R的对数。矩阵的对数是矩阵指数的逆：
当转角$ heta$不为$pi$的整数倍时，可以根据旋转矩阵R计算出转轴：$$egin{align*} hat{omega_x}=frac{1}{2sin heta}(r_{32}-r_{23})\hat{omega_y}=frac{1}{2sin heta}(r_{13}-r_{31})\hat{omega_z}=frac{1}{2sin heta}(r_{21}-r_{12})end{align*}$$
或表述为斜对称矩阵形式：$$[hat{omega}]=egin{bmatrix}0&-hat{omega_z}&hat{omega_y}\ hat{omega_z}&0&-hat{omega_x}\-hat{omega_y}&hat{omega_x}&0 end{bmatrix}=frac{1}{2sin heta}(R-R^T)$$
具体推导和细节可参考：Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control 3.2.3.3 Matrix Logarithm of Rotations
参考：
李群与李代数 - part 2 指数与对数映射、李代数求导与扰动模型
Lie Groups for 2D and 3D Transformations
Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control 3.2.3 Exponential Coordinate Representation of Rotation