算法设计与分析--01背包问题（动态规划法解决）

问题描述：

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
 int max(int a,int b)
 {
    if(a>=b)
        return a;
    else return b;
 }
 
 int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
 {
     int i,j;
     for(i=0;i<=n;i++)
         V[i][0]=0;
     for(j=0;j<=C;j++)
         V[0][j]=0;
     for(i=0;i<=n-1;i++)
         for(j=0;j<=C;j++)
             if(j<w[i])
                 V[i][j]=V[i-1][j];
             else
                 V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
             j=C;
             for(i=n-1;i>=0;i--)
             {
                 if(V[i][j]>V[i-1][j])
                 {
                 x[i]=1;
                 j=j-w[i];
                 }
             else
                 x[i]=0;
             }
             printf("选中的物品是:
");
             for(i=0;i<n;i++)
                 printf("%d ",x[i]);
             printf("
");
         return V[n-1][C];
         
 }
 
 void main()
 {
     int s;//获得的最大价值
     int w[15];//物品的重量
     int v[15];//物品的价值
     int x[15];//物品的选取状态
     int n,i;
     int C;//背包最大容量
     n=5;
     printf("请输入背包的最大容量:
");
     scanf("%d",&C);
     
     printf("输入物品数:
");
     scanf("%d",&n);
     printf("请分别输入物品的重量:
");
     for(i=0;i<n;i++)
         scanf("%d",&w[i]);
 
     printf("请分别输入物品的价值:
");
     for(i=0;i<n;i++)
         scanf("%d",&v[i]);
 
     s=KnapSack(n,w,v,x,C);
 
     printf("最大物品价值为:
");
     printf("%d
",s);
    
     
 }