数论——乘法逆元

乘法逆元

如果一个方程满足a*x≡1(mod b)，则称x为a的模b乘法逆元,记作a^-1。

因为a*x≡1(mod b)等价于a*x-b是m的倍数，不妨设-y倍，所以可以将该式子改写为a*x+b*y=1。

因此可以用扩展欧几里得求逆元：

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1, y = 0;
    return;
  }
  exgcd(b, a % b, y, x);
  y -= a / b * x;
}

因为根据费马小定理得，b^p-1≡1(mod p)，所以当p为质数时，b^p-2就是b的乘法逆元。

因此可以用快速幂求乘法逆元：

inline int qpow(long long a, int b) {
  int ans = 1;
  a = (a % p + p) % p;
  for (; b; b >>= 1) {
    if (b & 1) ans = (a * ans) % p;
    a = (a * a) % p;
  }
  return ans;
}

线性求逆元

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = (long long)(p - p / i) * inv[p % i] % p;

线性求任意n个数的乘法逆元

 参考代码：

s[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = s[i - 1] * a[i] % p;
sv[n] = qpow(s[n], p - 2);
// 当然这里也可以用 exgcd 来求逆元,视个人喜好而定.
for (int i = n; i >= 1; --i) sv[i - 1] = sv[i] * a[i] % p;
for (int i = 1; i <= n; ++i) inv[i] = sv[i] * s[i - 1] % p;