背包问题

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title: 动态规划_背包问题
date: 2018-07-30 20:36:18
tags:

• acm
• 算法
• 动态规划

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概述

背包问题就是动态规划的一个典型问题，，，个人觉得重在考查动态规划的思维，，有时需要将题目抽象出来，，，找出相对应的模型，，，然后优化解决，，，而不是一味的套模板。。。

这篇博客主要有 01背包问题 ， 完全背包问题 ， 多重背包问题 ， 混和背包问题 还有 二维费用背包问题，，，

概念知识点

大佬的文章写的不错，，有时间好好看看

01背包问题

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 C_i ，得到的价值是 W_i 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

定义状态：

F[i,v]表示把前i件物品放入容量为v的包中可以获得的最大价值。

状态转移方程：

F(i,v) = max(F(i-1,v),F(i-1,v-Ci)+Wi)

代码：

int c[N];               //第i个物品的代价
int w[N];               //第i个物品的价值
int f[N][N];            //f[i][j]表示将前i件物品放入容量为j的包是的最大的价值
F[0][0 - v] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = c[i]; j <= v; j++)
        f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i - 1][j - c[i]] + w[i]);

时间复杂度为O(v * n)

空间复杂度可以继续优化到O(v)

将二维的f(i , v)改成一维的，，，逆序求即可

f[0 - v] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = v; j >= c[i]; j--)
        f[j] = max(f[j] , f[j - c[i]] + w[i]);

初始化细节

若题目要求 恰好好装满背包的最优解，，初始化：f[0] = 0; f[1 - v] = -INF;

若题目要求 不需要将背包装满 ，，，，，初始化：f[0 - v] = 0;

完全背包

习题

Problem A: 买东西

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB

Description

今天AveryBoy去一家诡异的店买东西。如果卡上的余额>=5，就一定可以买到东西，即使买完之后卡上余额为负；否则不能买到东西，即使卡上的余额足够。所以最后大家肯定都希望卡上的余额尽可能的少。

现在已知商店有n种商品并且每种商品只有一个，每种商品的价格和卡上余额，求最少能使卡上余额为多少？

Input

有多组输入数据，对于每组输入数据：

第一行为一个正整数n，n<=1000，表示商品的个数。

第二行为n个正整数，表示每种商品的价格，价格<=50。

第三行为一个正整数m，m<=1000，表示卡上的余额。

n=0表示输入结束。

Output

对于每组输入，输出卡上可能的最少余额。

Sample Input
1
50
5
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
0

Sample Output
-45
32

我的代码：

//#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
#define ms(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
using namespace std;
const int N = 1e4;
int f[N];
int c[N];
int n , m;
int main()
{
    while (cin >> n && n)
    {
        ms(f , 0);
        ms(c , 0);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> c[i];
            //w[i] = c[i];
        }
        int v;cin >> v;
        if (v < 5)
        {
            cout << v << endl;
            continue;
        }

        sort(c + 1 , c + 1 + n);        //将最大的那个放最后

        for (int i = 1; i < n; i++)     //所以是n-1个
        {
            for (int j = v - 5; j >= c[i]; j--)
            {
                    f[j] = max(f[j] , f[j - c[i]] + c[i]);
            }
        }
        cout << v - f[v - 5] - c[n] << endl;    //在添上最后哪一个最大的
    }
    return 0;
}
//5
//5 4 5 4 5
//15
//1
//50
//5
//10
//1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
//50
//0

学长的代码：

// hdu 2546
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int dp[1005],sz[1005];

int main()
{
    int n,num;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&sz[i]);
        }
        sort(sz+1,sz+1+n);
        scanf("%d",&num);
        if(num<5)
        {
            printf("%d
",num);
            continue;
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            for(int j=num-5;j>=sz[i];j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-sz[i]]+sz[i]);
            }
        }
        printf("%d
",num-dp[num-5]-sz[n]);
    }
    return 0;
}

Problem B: 游戏

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB

Description

最近AveryBoy沉迷游戏，无法自拔。但是打怪升级的游戏玩久了很无趣，现在他还差n点经验就升到顶级了，但是他只剩m点忍耐度。每杀一个怪，他会得到对应的经验值，并减掉相应的忍耐度。当忍耐度<=0时，他就不会再玩游戏。并且他最多只杀s只怪。请问他能升到顶级吗？

Input

输入数据有多组，对于每组数据第一行输入n，m，k，s(0 < n,m,k,s <= 100)四个正整数。分别表示还需的经验值，保留的忍耐度，怪的种数和最多的杀怪数。接下来输入k行数据。每行数据输入两个正整数a，b(0 < a,b <= 20)；分别表示杀掉一只这种怪AveryBoy会得到的经验值和会减掉的忍耐度。(每种怪都有无数个)

Output

输出升到顶级还能保留的最大忍耐度，如果无法升到顶级输出-1。

Sample Input
10 10 1 10
1 1
10 10 1 9
1 1
9 10 2 10
1 1
2 2

Sample Output
0
-1
1

我的代码：

//#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int f[N][N];
int c[N];
int w[N];
int n , m , k , s;
int main()
{
    while (cin >> n >> m >> k >> s)
    {
        for (int i = 1; i <= k; i++)
            cin >> w[i] >> c[i];
 
        memset(f , 0 , sizeof(f));
 
        bool flag = true;
        for (int i = 1; i <= m; i++)            //忍耐度
        {
            for (int j = 1; j <= k; j++)         //怪的种数
            {
                for (int l = 1; l <= s; l++)    //可杀的怪的数量
                    if (c[j] <= i)
                        f[i][l] = max(f[i][l] , f[i - c[j]][l - 1] + w[j]);
            }
 
            if (f[i][s] >= n)
            {
                cout << m - i << endl;
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag)   cout << "-1" << endl;
    }
    return 0;
}

学长的代码：

// hdu 2159
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;

int dp[105][105],a[105],b[105];

int main()
{
    int n,m,k,s,tmp;
    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s))
    {
        for(int i=1;i<=k;i++)  scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        tmp=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=k;j++)
            {
                if(i<b[j]) continue;
                for(int x=1;x<=s;x++)
                {
                    for(int y=1;y<=x&&y*b[j]<=i;y++)
                    {
                        dp[i][x] = max(dp[i-y*b[j]][x-y]+y*a[j],dp[i][x]);
                    }
                }
            }
            if(dp[i][s]>=n)
            {
                tmp=i;
                break;
            }
        }
        if(tmp==0) printf("-1
");
        else printf("%d
",m-tmp);
    }
    return 0;
}

Problem C: 买东西2

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB

Description

你有n元钱，商店有m种商品，每种商品都有其对应的价格和重量。现在问你用这n元最多能买多重的商品。

Input

输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和商品的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每种商品的价格、重量以及个数。

Output

对于每组测试数据，请输出能够购买商品的最重的重量，你可以假设经费买不光所有的商品，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

Sample Input
1
8 2
2 100 4
4 100 2

Sample Output
400

我的代码：

//#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
#define ms(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
using namespace std;
const int N = 1e4 + 3;
 
int f[N];
int w[N];
int c[N];
int m[N];
int pw[N];
int pc[N];
int main()
{
    int t;cin >> t;
    while (t--)
    {
        ms(f , 0);
        ms(w , 0);
        ms(c , 0);
        ms(pw , 0);
        ms(pc , 0);
        ms(m , 0);
        int n , mm;cin >> n >> mm;
        for (int i = 1; i <= mm; i++)
        {
            cin >> pc[i];
            cin >> pw[i];
            cin >> m[i];
        }
 
        int num = 0;
        for (int i = 1; i <= mm; i++)
        {
            int k = 1;
            while (k < m[i])
            {
                w[num] = pw[i] * k;
                c[num] = pc[i] * k;
                num++;
                m[i] -= k;
                k <<= 1;
            }
            w[num] = pw[i] * m[i];
            c[num] = pc[i] * m[i];
            num++;
        }
        for (int i = 0; i < num; i++)
        {
            for (int j = n; j >= c[i]; j--)
            {
                f[j] = max(f[j] , f[j - c[i]] + w[i]);
            }
        }
        cout << f[n] << endl;
    }
    return 0;
}

学长的代码:

// hdu 2191
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;

int dp[105],c[505],w[505];
int pc[105],pw[105],s[105];

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&pc[i],&pw[i],&s[i]);
        }

        // 二进制拆分
        int num = 0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int k = 1;
            while(k<s[i])
            {
                c[num] = pc[i]*k;
                w[num] = pw[i]*k;
                num++;
                s[i]-=k;
                k<<=1;
            }
            c[num] = pc[i]*s[i];
            w[num] = pw[i]*s[i];
            num++;
        }

        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<num;i++)
        {
            for(int j=n;j>=c[i];j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
            }
        }
        printf("%d
",dp[n]);
    }
    return 0;
}

Problem D: 选课

Time Limit: 2 Sec Memory Limit: 128 MB

Description

AveryBoy这学期有n门课程，但由于他要去上班，导致他最多只有m天去学习这些课程。每门课程学习的天数不同会得到不同的分数，求他如何安排学习计划使得总分数最多。

Input

输入包含多组测试数据，每组测试数据第一行是两个正整数n，m。表示课程数和他学习的天数。

之后是n*m的矩阵，A[i][j]表示第i门课程学习j天会获得的分数。（1<=i<=n<=100，1<=j<=m<=100，1<=A[i][j]<=50）

输入以n=0，m=0结束。

Output

对于每组数据，输出AveryBoy能获得的最大分数。

Sample Input
2 2
1 2
1 3
2 2
2 1
2 1
2 3
3 2 1
3 2 1
0 0

Sample Output
3
4
6

我的代码:

//#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3;
int f[N];
int n , m;
int A[N][N];
int main()
{
    while (cin >> n >> m && n && m)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                cin >> A[i][j];
 
        memset(f , 0 , sizeof(f));
 
        for (int k = 1; k <= n; k++)            //将n个课程分组为1~k
        {
            for (int j = m; j >= 1; j--)        
            {
                for (int i = 1; i <= m; i++)    //对于每一组中的m个不同的方案
                    if (j - i >= 0)             //当前天数够时
                        f[j] = max(f[j] , f[j - i] + A[k][i]);
            }
        }
 
        cout << f[m] << endl;
    }
    return 0;
}
 

学长的代码:

// hdu 1712
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

int sz[105][105],dp[105];

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                scanf("%d",&sz[i][j]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=m;j>=1;j--)
            {
                for(int k=1;k<=m;k++)
                {
                    if(j-k>=0) dp[j] = max(dp[j],dp[j-k]+sz[i][k]);
                }
            }
        }
        printf("%d
",dp[m]);
    }
    return 0;
}

鸽了，，，，