大数乘法问题及其高效算法

题目

编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。比如：

题目描述： 输出两个不超过100位的大整数的乘积。
输入： 输入两个大整数，如1234567 和 123
输出： 输出乘积，如：151851741

或者

　　求 1234567891011121314151617181920 * 2019181716151413121110987654321 的乘积结果

分析

所谓大数相乘（Multiplication algorithm），就是指数字比较大，相乘的结果超出了基本类型的表示范围，所以这样的数不能够直接做乘法运算。

参考了很多资料，包括维基百科词条Multiplication algorithm，才知道目前大数乘法算法主要有以下几种思路：

1. 模拟小学乘法：最简单的乘法竖式手算的累加型；
2. 分治乘法：最简单的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；
3. 快速傅里叶变换FFT：（为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT），时间复杂度O(N lgN lglgN)。具体可参照Schönhage–Strassen algorithm；
4. 中国剩余定理：把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行；
5. Furer’s algorithm：在渐进意义上FNTT还快的算法。不过好像不太实用，本文就不作介绍了。大家可以参考维基百科Fürer’s algorithm

解法

我们分别实现一下以上算法，既然不能直接使用乘法做运算，最简单最容易想到的办法就是模拟乘法运算。

1、模拟乘法手算累加

      7 8 9 6 5 2
×         3 2 1 1
-----------------
      7 8 9 6 5 2   <---- 第1趟 
    7 8 9 6 5 2     <---- 第2趟 
   ..........       <---- 第n趟 
-----------------
  ? ? ? ? ? ? ? ?   <---- 最后的值用另一个数组表示 

如上所示，乘法运算可以分拆为两步：

• 第一步，是将乘数与被乘数逐位相乘；
• 第二步，将逐位相乘得到的结果，对应相加起来。

这有点类似小学数学中，计算乘法时通常采用的“竖式运算”。用Java简单实现了这个算法，代码如下：

/**
 * 大数相乘 - 模拟乘法手算累加
 */
public static Integer[] bigNumberMultiply(int[] arr1, int[] arr2){
    ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();  //中间求和的结果

    //arr2 逐位与arr1相乘
    for(int i = arr2.length - 1; i >= 0; i--){
        int carry = 0;
        ArrayList<Integer> singleList = new ArrayList<>();

        //arr2 逐位单次乘法的结果
        for(int j = arr1.length - 1; j >= 0; j--){
            int r = arr2[i] * arr1[j] + carry;
            int digit = r % 10;
            carry = r / 10;

            singleList.add(digit);
        }
        if(carry != 0){
            singleList.add(carry);
        }

        int resultCarry = 0, count = 0;
        int k = 0;
        int l = 0;
        int offset = arr2.length - 1 - i;       //加法的偏移位
        ArrayList<Integer> middleResult = new ArrayList<>();

        //arr2每位乘法的结果与上一轮的求和结果相加，从右向左做加法并进位
        while (k < singleList.size() || l < result.size()) {
            int kv = 0, lv = 0;
            if (k < singleList.size() && count >= offset) {
                kv = singleList.get(k++);
            }
            if (l < result.size()) {
                lv = result.get(l++);
            }
            int sum = resultCarry + kv + lv;
            middleResult.add(sum % 10);     //相加结果从右向左（高位到低位）暂时存储，最后需要逆向输出
            resultCarry = sum / 10;
            count++;
        }
        if(resultCarry != 0){
            middleResult.add(resultCarry);
        }
        result.clear();
        result = middleResult;
    }

    Collections.reverse(result);    //逆向输出结果
    return result.toArray(new Integer[result.size()]);
}

看了以上的代码，感觉思路虽然很简单，但是实现起来却很麻烦，那么我们有没有别的方法来实现这个程序呢？答案是有的，接下来我来介绍第二种方法。

2、模拟乘法累加 - 改进

简单来说，方法二就是先不算任何的进位，也就是说，将每一位相乘，相加的结果保存到同一个位置，到最后才计算进位。

例如：计算98×21,步骤如下

        9  8
×       2  1
-------------
       (9)(8)  <---- 第1趟: 98×1的每一位结果 
  (18)(16)     <---- 第2趟: 98×2的每一位结果 
-------------
  (18)(25)(8)  <---- 这里就是相对位的和，还没有累加进位 

这里唯一要注意的便是进位问题，我们可以先不考虑进位，当所有位对应相加，产生结果之后，再考虑。从右向左依次累加，如果该位的数字大于10，那么我们用取余运算，在该位上只保留取余后的个位数，而将十位数进位（通过模运算得到）累加到高位便可，循环直到累加完毕。

核心代码如下：

/**
 * 大数相乘方法二
 */
public static int[] bigNumberMultiply2(int[] num1, int[] num2){
    // 分配一个空间，用来存储运算的结果，num1长的数 * num2长的数，结果不会超过num1+num2长
    int[] result = new int[num1.length + num2.length];

    // 先不考虑进位问题，根据竖式的乘法运算，num1的第i位与num2的第j位相乘，结果应该存放在结果的第i+j位上
    for (int i = 0; i < num1.length; i++){
        for (int j = 0; j < num2.length; j++){
            result[i + j + 1] += num1[i] * num2[j];     // (因为进位的问题，最终放置到第i+j+1位)
        }
    }

    //单独处理进位
    for(int k = result.length-1; k > 0; k--){
        if(result[k] > 10){
            result[k - 1] += result[k] / 10;
            result[k] %= 10;
        }
    }
    return result;
}

 而正好result[]数组的最后一位空置，不可能被占用，我们就响应地把num1的第i位与num2的第j位相乘，结果应该存放在结果的第i+j位上的这个结果往后顺移一位（放到第i+j+1位），最后从右向左累加时就多了一个空间。

3、分治 - Karatsuba算法

Karatsuba于1960年发明将两个n位数相乘的Karatsuba算法。它反证了安德雷·柯尔莫哥洛夫于1956年认为这个乘法需要 $ Omega (n^{2})$ 步骤的猜想。

首先来看看这个算法是怎么进行计算的，见下图：

根据上面的思路，实现的Karatsuba乘法代码如下：

/**
 * Karatsuba乘法
 */
public static long karatsuba(long num1, long num2){
    //递归终止条件
    if(num1 < 10 || num2 < 10) return num1 * num2;

    // 计算拆分长度
    int size1 = String.valueOf(num1).length();
    int size2 = String.valueOf(num2).length();
    int halfN = Math.max(size1, size2) / 2;

    /* 拆分为a, b, c, d */
    long a = Long.valueOf(String.valueOf(num1).substring(0, size1 - halfN));
    long b = Long.valueOf(String.valueOf(num1).substring(size1 - halfN));
    long c = Long.valueOf(String.valueOf(num2).substring(0, size2 - halfN));
    long d = Long.valueOf(String.valueOf(num2).substring(size2 - halfN));

    // 计算z2, z0, z1, 此处的乘法使用递归
    long z2 = karatsuba(a, c);
    long z0 = karatsuba(b, d);
    long z1 = karatsuba((a + b), (c + d)) - z0 - z2;

    return (long)(z2 * Math.pow(10, (2*halfN)) + z1 * Math.pow(10, halfN) + z0);
}

总结：

Karatsuba 算法是比较简单的递归乘法，把输入拆分成 2 部分，不过对于更大的数，可以把输入拆分成 3 部分甚至 4 部分。拆分为 3 部分时，可以使用下面的Toom-Cook 3-way 乘法，复杂度降低到 O(n^1.465)。拆分为 4 部分时，使用Toom-Cook 4-way 乘法，复杂度进一步下降到 O(n^1.404)。对于更大的数字，可以拆成 100 段，使用快速傅里叶变换FFT，复杂度接近线性，大约是 O(n^1.149)。可以看出，分割越大，时间复杂度就越低，但是所要计算的中间项以及合并最终结果的过程就会越复杂，开销会增加，因此分割点上升，对于公钥加密，暂时用不到太大的整数，所以使用 Karatsuba 就合适了，不用再去弄更复杂的递归乘法。

其中，Java8中的源代码如下：

private static final int MULTIPLY_SQUARE_THRESHOLD = 20;

private static final int KARATSUBA_THRESHOLD = 80;

private static final int TOOM_COOK_THRESHOLD = 240;

public BigInteger multiply(BigInteger val) {
    if (val.signum == 0 || signum == 0)
        return ZERO;

    int xlen = mag.length;

    if (val == this && xlen > MULTIPLY_SQUARE_THRESHOLD) {
        return square();
    }

    int ylen = val.mag.length;

    if ((xlen < KARATSUBA_THRESHOLD) || (ylen < KARATSUBA_THRESHOLD)) {
        int resultSign = signum == val.signum ? 1 : -1;
        if (val.mag.length == 1) {
            return multiplyByInt(mag,val.mag[0], resultSign);
        }
        if (mag.length == 1) {
            return multiplyByInt(val.mag,mag[0], resultSign);
        }
        int[] result = multiplyToLen(mag, xlen,
                                     val.mag, ylen, null);
        result = trustedStripLeadingZeroInts(result);
        return new BigInteger(result, resultSign);
    } else {
        if ((xlen < TOOM_COOK_THRESHOLD) && (ylen < TOOM_COOK_THRESHOLD)) {
            // 采用 Karatsuba algorithm 算法
            return multiplyKaratsuba(this, val);
        } else {
            // 采用 Toom-Cook multiplication 3路乘法
            return multiplyToomCook3(this, val);
        }
    }
}

我们可以看到，Java8依据两个因数的量级分别使用Karatsuba algorithm 和 Toom-Cook multiplication 算法计算大数乘积。