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  • 机器学习基础:朴素贝叶斯小结

    机器学习基础:朴素贝叶斯小结

    CONTENTS

    1. 全概率公式与贝叶斯公式

    2. 朴素贝叶斯的模型

    3. 朴素贝叶斯的推断过程

    4. 朴素贝叶斯的参数估计

    5. 朴素贝叶斯算法优缺点

    6. 代码实践

    1. 全概率公式与贝叶斯公式

    [全概率公式: P(X)=sum_{k}P(X|Y=Y_k)P(Y_k) ]

    [贝叶斯公式:P(Y_k|X) = frac{P(X|Y_{k})P(Y_k)}{P(X)} ]

    2. 朴素贝叶斯的模型

    假设分类模型样本是:

    [(x^{(1)}_1,x^{(1)}_2,...x^{(1)}_n,y_1),(x^{(2)}_1,x^{(2)}_2,...x^{(2)}_n,y_2),...(x^{(m)}_1,x^{(m)}_2,...x^{(m)}_n,y_m) ]

    共有m个样本, n个特征, K个类别, 定义为(C_1, C_2, ... , C_K)

    从样本中可以得到先验分布(P(Y=C_k)(k=1,2,...,K)), 也可以根据特定的先验知识定义先验分布。

    接着需要得到条件概率分布(P(X=x|Y=C_k)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,...X_n=x_n|Y=C_k)), 然后求得联合分布:

    [egin{split} P(X,Y=C_k)&=&P(Y=C_k)P(X=x|Y=C_k) (1) \ &=&P(Y=C_k)P(X_1=x_1,X_2=x_2,...X_n=x_n|Y=C_k)(2) end{split} ]

    (P(Y=C_k)) 可以用最大似然法求出, 得到的(P(Y=C_k))就是类别(C_k)在训练集中出现的频数。但是条件概率分布(P(X=x|Y=C_k)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,...X_n=x_n|Y=C_k)),很难求出,朴素贝叶斯模型在这里做了一个大胆的假设,即Xn个维度之间相互独立,这样就可以得出:

    [P(X_1=x_1,X_2=x_2,...X_n=x_n|Y=C_k)=P(X_1=x_1|Y=C_k)P(X_2=x_2|Y=C_k) \...P(X_n=x_n|Y=C_k) ]

    我们只要计算出所有的K个条件概率(P(Y=C_k|X=X^{(test)})),然后找出最大的条件概率对应的类别,这就是朴素贝叶斯的预测。

    3. 朴素贝叶斯的推断过程

    假设预测的类别(C_result)是使(P(Y=C_k|X=X^{(test)}))最大化的类别,数学表达式为:

    [egin{split} C_{result} &= underset {C_k}{underset{underbrace{}}{operatorname {arg\,max}} }P(Y=C_k|X=X^{(test)}) \ &= frac{underset {C_k}{underset{underbrace{}}{operatorname {arg\,max}} }P(X=X^{(test)}|Y=Ck)P(Y=C_k)}{P(X=X^{(test))}} \ &=underset {C_k}{underset{underbrace{}}{operatorname {arg\,max}} }P(X=X^{(test)}|Y=C_k)P(Y=C_k) end{split} ]

    接着利用朴素贝叶斯的独立性假设,就可以得到朴素贝叶斯推断公式:

    [C_{result} = underset {C_k}{underset{underbrace{}}{operatorname {arg\,max}} } P(Y=C_k)prod_{j=1}^{n}P(X_j=X_j^{(test)}|Y=C_k) ]

    4. 朴素贝叶斯的参数估计

    4.1 对于离散值特征

    假设服从多项式分布,这样得到(P(X_j=X^{(test)}_j|Y=C_k))是在样本类别(C_k)中,特征(X^{(test)}_j)出现的频率。即:

    [P(X_j=X(test)_j|Y=Ck)=frac{m_{kj^{test}}}{m_k} \其中m_k为样本类别C_k总的特征计数,而m_{kj^{test}}为类别为C_k的样本中,第j维特征X^{(test)}_j出现的计数 ]

    某些时候,可能某些类别在样本中没有出现,这样可能导致(P(X_j=X^{(test)}_j|Y=C_k))为0,这样会影响后验的估计,为了解决这种情况,引入了拉普拉斯平滑,即此时有:

    [P(X_j=X(test)_j|Y=Ck)=frac{m_{kj^{test}} + lambda}{m_k + O_jlambda} \其中λ 为一个大于0的常数,常常取为1,O_j为第j个特征的取值个数。 ]

    4.2 对于非常稀疏的离散值

    假设服从伯努利分布, 即特征(X_j)出现记为1,不出现记为0。即只要(X_j)出现即可,不关注(X_j)的次数。此时有:

    [P(X_j=X^{(test)}_j|Y=C_k)=P(X_j=1|Y=C_k)X^{(test)}_j+(1−P(X_j=1|Y=C_k))(1−X^{(test)}_j)\ 其中,X^{(test)}_j取值为0和1。 ]

    4.3 对于连续值特征

    通常假设(X_j)的先验概率为正态分布, 有:

    [P(X_j=X^{(test)}_j|Y=C_k)= frac{1}{sqrt{2pidelta^{2}_{k}}}exp(-frac{(X_j^{(test)} - mu_k)^2}{2delta_k^{2}}) \其中μ_k和σ^2_k是正态分布的期望和方差,可以通过极大似然估计求得。μ_k为在样本类别C_k中,所有X_j的平均值。\ σ^2_k为在样本类别C_k中,所有X_j的方差。对于一个连续的样本值,带入正态分布的公式,就可以求出概率分布。 ]

    5. 朴素贝叶斯算法优缺点

    优点

    • 对小规模的数据表现很好,能个处理多分类任务,适合增量式训练,尤其是数据量超出内存时,可以一批批的去增量训练;
    • 对缺失数据不太敏感,算法也比较简单,有稳定的分类效率,常用于文本分类;

    缺点

    • 独立性假设在很多情况下并不成立, 在属性个数比较多或者属性之间相关性较大时,分类效果不好。而在属性相关性较小时,朴素贝叶斯性能最为良好。
    • 需要知道先验概率,且先验概率很多时候取决于假设,假设的模型可以有很多种,因此在某些时候会由于假设的先验模型的原因导致预测效果不佳。
    • 由于我们是通过先验和数据来决定后验的概率从而决定分类,所以分类决策存在一定的错误率。
    • 对输入数据的表达形式很敏感。

    6. 代码实践

    import math
    class NaiveBayes:
        def __init__(self):
            self.model = None
    
        # 数学期望
        @staticmethod
        def mean(X):
            """计算均值
            Param: X : list or np.ndarray
            
            Return:
                avg : float
            
            """
            avg = 0.0
            # ========= show me your code ==================
            avg = sum(X) / float(len(X))
            # ========= show me your code ==================
            return avg
    
        # 标准差(方差)
        def stdev(self, X):
            """计算标准差
            Param: X : list or np.ndarray
            
            Return:
                res : float
            
            """
            res = 0.0
            # ========= show me your code ==================
            avg = self.mean(X)
            res = math.sqrt(sum([pow(x - avg, 2) for x in X]) / float(len(X)))
            # ========= show me your code ==================
            return res
            
        # 概率密度函数
        def gaussian_probability(self, x, mean, stdev):
            """根据均值和标注差计算x符号该高斯分布的概率
            Parameters:
            ----------
            x : 输入
            mean : 均值
            stdev : 标准差
            
            Return:
            
            res : float, x符合的概率值
                
            """
            res = 0.0
            # ========= show me your code ==================
            exponent = math.exp(-(math.pow(x - mean, 2) /
                                  (2 * math.pow(stdev, 2))))
            res = (1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * stdev)) * exponent
            # ========= show me your code ==================
            
            return res
            
        # 处理X_train
        def summarize(self, train_data):
            """计算每个类目下对应数据的均值和标准差
            Param: train_data : list
            
            Return : [mean, stdev]
            """
            summaries = [0.0, 0.0]
            # ========= show me your code ==================
            summaries = [(self.mean(i), self.stdev(i)) for i in zip(*train_data)]
            
            # ========= show me your code ==================
            return summaries
    
        # 分类别求出数学期望和标准差
        def fit(self, X, y):
            labels = list(set(y))
            data = {label: [] for label in labels}
            for f, label in zip(X, y):
                data[label].append(f)
            self.model = {
                label: self.summarize(value) for label, value in data.items()
            }
            return 'gaussianNB train done!'
    
        # 计算概率
        def calculate_probabilities(self, input_data):
            """计算数据在各个高斯分布下的概率
            Paramter:
            input_data : 输入数据
            
            Return:
            probabilities : {label : p}
            """
            # summaries:{0.0: [(5.0, 0.37),(3.42, 0.40)], 1.0: [(5.8, 0.449),(2.7, 0.27)]}
            # input_data:[1.1, 2.2]
            probabilities = {}
            # ========= show me your code ==================
            for label, value in self.model.items():
                probabilities[label] = 1
                for i in range(len(value)):
                    mean, stdev = value[i]
                    probabilities[label] *= self.gaussian_probability(
                        input_data[i], mean, stdev)
            # ========= show me your code ==================
            return probabilities
    
        # 类别
        def predict(self, X_test):
            # {0.0: 2.9680340789325763e-27, 1.0: 3.5749783019849535e-26}
            label = sorted(self.calculate_probabilities(X_test).items(), key=lambda x: x[-1])[-1][0]
            return label
        # 计算得分
        def score(self, X_test, y_test):
            right = 0
            for X, y in zip(X_test, y_test):
                label = self.predict(X)
                if label == y:
                    right += 1
    
            return right / float(len(X_test))
    
    from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
    from sklearn.datasets import load_iris
    import pandas as pd
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    iris = load_iris()
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(iris.data, iris.target, test_size=0.2)
    clf = GaussianNB().fit(X_train, y_train)
    print ("Classifier Score:", clf.score(X_test, y_test))
    
    model = NaiveBayes()
    model.fit(X_train, y_train)
    print(model.predict([4.4,  3.2,  1.3,  0.2]))
    model.score(X_test, y_test)
    
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