【题解】论逼格

题目描述

I shall dedicate myself to the interest of the country in life and death, irrespective of personal weal and woe.
——Lin Zexu

最近，goldgenius 决定想办法提升自己的逼格。经过数日的研究，他发现：回文数字是非常有逼格的。为了让自己成为一个更有逼格的人，他想要知道：

[large{S_n=sum_{i=1}^n is_i imesleft(smod 2 ight)} ]

其中 (s_i) 是长度为 (i) 的回文数个数（不允许有前导 (0)）。

输入格式

本题有多组测试数据。

第一行一个正整数 (T)，即测试数据组数。

接下来 (T) 行，每行一个正整数 (n)。

输出格式

共 (T) 行，每行一个整数，表示 (S_n mod 233333)。

数据范围

测试时间限制 (1000 extrm{ms})，空间限制 (128 extrm{MiB})

• 对于 (30\%) 的数据，(nle 5)；
• 对于另外 (20\%) 的数据，(sum nle 10^7)；
• 对于另外 (20\%) 的数据，(T=1)；
• 对于 (100\%) 的数据，(Tle 5 imes 10^5)，(nle 10^9)。

分析

先考虑部分分。

(30;mathtt{pts})

优秀的暴力模板。

枚举所有 (k<10^n)，判断回文即可。

复杂度上限：(Theta(Tn imes 10^n))。

(50;mathtt{pts})

懂点数学的都应该拿到这一部分分。

考虑对于长度为 (n) 的回文数（无前导 (0)）的数量，应该为 (9 imes 10^{lceilfrac{n}{2} ceil-1})

为什么？度娘 or 小猿搜题给你答案。

然后枚举一遍，从 (1) 到 (n) 就行，复杂度 (Theta(sum n))

(70;mathtt{pts})

在这里，(n) 变得很大，如何快速求出一个 (n) 值呢？

考虑递推，设 (S'_n=S_{2n-1})，则 (S'_n=S'_{n-1}+(2n-1) imes 9 imes 10^{n-1})

可以通过矩阵快速幂得到，复杂度进一步降到 (Theta(Tlog n))

(100;mathtt{pts})

接下来就是无聊的卡常环节。

矩阵快速幂常数略大，怎么优化？

还看到这个式子：

[large{S'_n = 9 imes sum_{i=1}^n(2i-1) imes 10^{i-1}} ]

我们要核心解决的就是

[S=sum_{i=1}^n(2i-1) imes 10^{i-1} ]

注意到这是等差与等比相乘，考虑裂项。即：

[10S-S=sum_{i=1}^n(2i-1) imes 10^i-sum_{i=1}^n(2i-1) imes 10^{i-1}\ 9S=sum_{i=1}^n(2i-1) imes 10^i-sum_{i=0}^{n-1}(2i+1) imes 10^i ]

对上了，将两项分离开，剩下的放一起，整理得：

[9S=(2n-1) imes 10^n-1-2 imessum_{i=1}^{n-1}10^i ]

运用等比数列求和公式得：

[9S=(2n-1) imes 10^n-1-2 imesdfrac{10^n-10}{9} ]

注意到 (S'_n=9S)，所以

[S'_n=(2n-1) imes 10^n-1-2 imesdfrac{10^n-10}{9} ]

(10^n) 可以快速幂解决，而 (frac{1}{9}) 可以求逆元得到。这样常数就降下来了，但复杂度还是 (Theta(Tlog n))

Code

考场上写的快速幂，不知为什么特别慢，只有 (60) 分。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod = 233333, unit_mat[4][4] = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}
, def_mat[4][4] = {{0, 0, 1, 0}, {10, 10, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 2, 0, 10}}, start[4][4] = {{9, 27, 0, 90}};

struct mat
{
	ll a[4][4];
	int l, w;
	
	mat()
	{
		memset(a, 0, sizeof(a));
		l = w = 0;
	}
	
	void setv(const int ppa[4][4], int lx, int wx)
	{
		l = lx, w = wx;
		for (int i = 0; i < lx; i++)
			for (int j = 0; j < wx; j++)
				a[i][j] = ppa[i][j];
	}
	
	void setm(const mat& m)
	{
		l = m.l, w = m.w;
		
		for (int i = 0; i < l; i++)
			for (int j = 0; j < w; j++)
				a[i][j] = m.a[i][j];
	}
};

void mat_mul(const mat& au, const mat& bu, mat& cu)
{
	cu.w = au.w, cu.l = bu.l;
	
	for (int i = 0; i <	bu.l; i++)
		for (int j = 0; j < au.w; j++)
		{
			cu.a[i][j] = 0;
			for (int k = 0; k < bu.w; k++)
				cu.a[i][j] = (cu.a[i][j] + au.a[k][j] * bu.a[i][k]) % mod;
		}
}

inline int read()
{
	int ch = getchar(), n = 0, t = 1;
	while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
	if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
	while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
	return n * t;
}

int main()
{
	int cas = read(), n, cur, pw;
	mat ans, mul, sta, tmp;
	
	while (cas--)
	{
		n = read();
		pw = n / 2 + (n & 1);
		
		mul.setv(def_mat, 4, 4);
		sta.setv(unit_mat, 4, 4);
		cur = 1;
		
		while (cur <= pw)
		{
			if (cur & pw)
			{
				mat_mul(mul, sta, tmp);
				sta.setm(tmp);
			}
			
			mat_mul(mul, mul, tmp);
			mul.setm(tmp);
			cur <<= 1;
		}
		
		tmp.setv(start, 1, 4);
		
		mat_mul(sta, tmp, ans);
		printf("%lld
", ans.a[0][2]);
	}
	
	return 0;
}

最后搞出来的做法

#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod = 233333, nine_inv = ######; // 你想知道9的逆元？自己求去。

inline int read()
{
	int ch = getchar(), n = 0, t = 1;
	while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
	if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
	while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
	return n * t;
}

int main()
{
	int cas = read(), n, pw, cur;
	ll mul, sta, ans;
	
	while (cas--)
	{
		n = read();
		pw = n / 2 + (n & 1), mul = 10, cur = 1, sta = 1, ans = -1;
		
		while (cur <= pw)
		{
			if (cur & pw)
				sta = (sta * mul) % mod;
			
			mul = (mul * mul) % mod;
			cur <<= 1;
		}
		
		ans = ((ans + (sta * (2 * pw - 1) % mod) - (((sta - 10 + mod) % mod) * nine_inv * 2 % mod)) + mod) % mod;
		printf("%lld
", ans);
	}
	
	return 0;
}

后记

又是一道十分毒瘤的卡常题。

这道题最难的地方，也是最精妙的地方，就是这个裂项，把乘积形式变成和形式，最后通过快速幂解决问题。

考试时想到矩阵快速幂就以为完了，没想到这题这么卡常，虽然是一道练数学推导的好题。