【题解】[AGC036F] Square Constraints

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• 注意事项

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给定 (n)，求长为 (2n) 的 (0) 到 (2n-1) 的排列 (p) 的个数，满足 (n^2le i^2+p_i^2le 4n^2)（(0le ile 2n-1)），(1le nle 250)。

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这题调了我三天，基本被抬走了…… AC 的时候血压骤降。

解析

把题目中的条件转换成几何形式，即 ((i,p_i)) 在内半径为 (n)，外半径 (2n) 的圆环内。如图给出了一个 (n=2)，(p=left<2,3,0,1 ight>) 的例子：

考虑没有内圆时的做法，即存在一个序列 (r_i)，要求 (p) 满足 (r_ige p_i)。这是一个平凡的问题，即将 (r) 升序排序，第 (i) 位的选择数就是 (r_i+1-i)（每一位初始有 (r_i+1) 种选择，而有 (i) 种被占掉了，因为排序后之前的选择一定都被这一位包含），即答案就是 (prodlimits_{i=0}^{2n-1}(r_i+1-i))。

有内圆怎么做呢？设内圆产生的下界为 (l_i)，先考虑将 ([l_ile xle r_i]) 类似的条件转换成 ([xle r_i]-[xle l_i-1])，接下来是一步经典的容斥转换：设 (f(k)) 为选 (k) 个数选择 (l_i) 为上界的方案数，则最终答案为：

[sumlimits_{k=0}^n (-1)^kf(k) ]

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考虑 dp 求解 (f(k))，即令 (f_{i,j}) 为对于前 (i) 个数，选取 (j) 个以 (l_x) 为上界的方案数。注意到方案数的关键在于排序，即计算多少个数影响了该决策，即小于自身。

当 (i<n) 时，以 (l_i) 为第一关键字，(r_i) 为第二关键字排序；当 (ige n) 时以 (r_i) 为关键字排序后，考虑以下转移（下文 (i) 代表原先下标，(i^prime) 代表排序后的下标）：

当 (ige n) 时，即不存在 (l_i)，此时造成影响的有：

• 小于自身的 (r_x)，即 (x>i) 且 (xge n)，设有 (cnt_1) 个；
• 可能选择的 (l_x)，即 (j)；

这种转移的贡献是 ((r_i-cnt_1-j+1)f_{i^prime-1}{j})。

考虑 (i<n)，此时有两种决策：

1. 选择 (l_i) 为上界，则造成影响的有：
   • 满足 (r_x<l_i) 的 (r_x)，和前面相同，也是 (cnt_1) 种贡献；
   • 满足 (x>i) 的 (l_x)，注意此时的贡献数是 (j-1)，因为已经钦定了一个位置选择 (l_x) 为上界。

此时贡献是 ((l_i-cnt_1-j+2)f_{i^prime-1,j-1})（注意代码里还是 +1，因为下标不同）。

2. 选择 (r_i) 为上界，类似的有：
   • 满足 (x>i) 的 (r_x)，注意这不仅包括了 (xge n) 的 (n) 个贡献（(r_i) 单调），还有满足 (i<x<n) 且取 (r_x) 的情况。则后者的贡献是总数 (n-1-i) 减去已经除去的 (j) 种，两类相加为 (2n-1-i-j)。（代码中用 lc 代替了后者贡献中的总数）
   • 满足 (l_x<r_i) 的 (x)，注意到这里有一个关键性质：所有的 (l_x) 都小于 (r_i)，因为 (r_ige r_n=leftlfloorsqrt{3n^2} ight floorge sqrt{n^2}ge l_i)。所以这一部分的贡献与钦定的 (l_i) 总数有关，设其为 (k)。

此时贡献是 ((r_i-2n+i+j-k+2)f_{i^prime-1,j})，若用 (lc) 表示则为 ((r_i-lc-k+j+1)f_{i^prime-1,j})。

则 (f(k)=f_{2n, k})，最终整体统计答案即可。每次指定 (k) 进行 dp 复杂度 (mathcal{O}(n^2))，总共 (mathcal{O}(n^3))，可以通过。

注意事项

1. 将 ([lle xle r]) 转换成 ([xle r] - [xle l-1]) 别忘了 -1；
2. 循环边界，循环边界，循环边界！怎么强调都不为过！(f_{x,k}) 算了吗？(f(0)) 算了吗？
3. dp 数组清空了吗？dp 初始值设了吗？
4. dp 顺序的排序，注意关键字的顺序和大小关系。
5. 有没有输出负数？

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