归简法(reduction)
指的是将某一问题转化成另一个问题，将一个未知问题归简成一个已解决的问题。
归纳法(induction)
首先要证明语句在某一基本情况下是成立的，然后证明他可以由一个对象推广到下一个对象（如果对n-1成立，那么它对于n也成立）
递归法(recursion)
需要确保函数在遇到基本情况base case时的操作是正确的，并且能将各层递归调用的结果组合成一个有效的解决方法。
归简法：Let’s take an example.
假设想从某个数字列表中找出两个最接近但不相等的数
方法一：
from random import randrange seq = [randrange(10**10) for i in range(100)] dd = float('inf') for x in seq: for y in seq: if x==y : continue d = abs(x-y) if d < dd: xx,yy,dd =x,y,d print(x,y,dd)
算法一：采用了两层嵌套循环（Two nested loops），这是一个平方级操作。（quadratic）
归简后：
seq.sort() for i in range(len(seq)-1): x,y = seq[i],seq[i+1] if x == y :continue d = abs(x-y) if d < dd: xx, yy, dd = x, y, d
先对列表进行排序，而排序通常是一个线性对数级或者Θ（nlgn）级操作，新的运行时间由排序操作主导。
原问题是：找出数列中最接近的两个数，通过对seq进行排序，我们将其归简成 找出以排序序列中最接近的两个数，并不会影响原问题的答案。
将A归简成B类似于，你想解决A，只要你能解决B就行了。
归纳法：Let’s take an example.
先提出一个命题或语句P（n），再来证明他对任何自然数n都成立。
我们想考察前n个数中的奇数之和，那么其P（n）可能会是以下语句：
归纳法的思路：
建立一条涵盖所有自然数的扫描式的证据链，我们必须要证明如果语句P(n-1)是成立的，那么P(n)也必然成立
如果我们能证明其中的隐含关系，P(n-1)→P(n)，该结果就能贯穿于n的所有值，从P(1)开始，用P(1)→P(2)来证明P(2)成立，继续转向P(3)、P(4n)等；
关键就是这层隐含关系要成立，然后将该关系进一步推导下去。称之为归纳步骤
P(n-1) 假设为：
拼接到原式 P(n)：
最主要一步是假设P(n-1)已经成立。从已知的与n-1相关的信息开始，构建出n相关的情况！
递归法：
归纳法证明了递归法的适用性，而递归法则是我们实现归纳法思维的一种简单方式。
任何递归函数都可以被重写成相应的迭代操作。（反之亦然）
插入排序法：
思路：归纳性假设前n-1个元素已经完成了排序了，现在要将第n个元素插入到正确的位置上！
def insert_sort(seq,n):
if n == 0 :return
insert_sort(seq,n-1)
j = n
while j>0 and seq[j-1] > seq[j]:
seq[j-1],seq[j] = seq[j],seq[j-1]
j -= 1
选择排序法：
思路：先找到序列中最大的元素，并将其放在n的位置上，然后继续递归排序剩下的元素！
def select_sort(seq,n):
if n == 0 : return
max_j = n
for i in range(n):
if seq[i] > seq[max_j]:
max_j = i
seq[max_j],seq[n] = seq[n],seq[max_j]
select_sort(seq,n-1)
寻找最大排列：
现在八个人去电影院看电影，他们现在都有了自己的位置，但是他们其中有的满意，有的不满意。他们想做的座位如下图：
图中a,b,c,d,e,f,g,h都表示座位，也表示座位上的人，箭头指向他们想坐的座位。
分析如下：
1.如果各个人指向的座位不同，那么整个集合本身就是结果了。（大家喜欢的座位各不相同，那还争什么呀，大家交换就是了）
2.那么至少要有两个人指向同一个座位（这样问题才有意思，有人争座位！a和b他们有一个肯定不在结果集中！那么要淘汰谁呢？！）
3.淘汰那个没有人指向自己座位的人！（比如淘汰a的话，那么接下来c也没地方去了。哎。后果很严重！）
假设：M=[2,2,0,5,3,5,7,4] #表示他们想去的位置
def naive_max_num(M,A=None):
if A==None:
A=set(range(len(M)))
if len(A) == 1:
return A
B = set(M[x] for x in A)
C = A-B
if C:
A.remove(C.pop())
naive_max_num(M,A)
return A
时间复杂度：平方级。因为B的生成需要线性时间。
引入计数的思想：
为各元素设置一个计数器，我们先淘汰空座位，然后再找到该座位属于者x，我们就只需递减该x指向座位的计数器，并在x的计数器为0时，将编号为x的人和座位一同出局即可。
def max_perm(M):
n=len(M)
A = set(range(n))
counts=[0]*n
for i in M:
counts[i] += 1
Q = [i for i in A if counts[i] == 0]
while Q:
i = Q.pop()
A.remove(i)
j = M[i]
counts[j] -= 1
if counts[j] == 0:
Q.append(j)
return A
时间复杂度：线性级
计数排序：( 稳定排序 )
如果所操作的元素都是可以被哈希的，可以采用计数排序，（在最坏情况下能达到线性对数级操作）
通过引入一个键值函数，我们可以按照自己喜欢的方式进行排序！
from collections import defaultdict
def counting_sort(A,key=lambda x :x):
B,C=[],defaultdict(list)
for x in A:
C[key(x)].append(x)
for k in range(min(C),max(C)+1):
B.extend(C[k])
return B
拓扑排序：
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG) G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。
几乎在所有的项目中，待完成的任务之间通常都会存在着某些依赖关系，这些关系会对它们的执行顺序形成部分约束。
对于这种依赖关系，我们通常很容易将其表示成一个有向无环路图（DAG），并将寻找其中依赖顺序的过程（寻找所有沿着特定顺序前进的边与点）成为拓扑排序（topological sorting）
思路：
首先移除其中一个节点，然后解决其余n-1个节点的问题。但，这首先要保证移除之后还是一个DAG。就是需要移除那些没有入边的节点。
通过计数方式，统计节点入边数！
def topSort(G):
count = dict((u,0) for u in G)
for u in G:
for v in G[u]:
count[v] += 1
Q = [u for u in count if count[u]==0]
S = []
while Q:
u = Q.pop()
S.append(u)
for u in G[u]:
count[u] -= 1
if count[u] == 0:
Q.append(u)
return S
if __name__=="__main__":
G={
'a':set('bf'),
'b':set('cdf'),
'c':set('d'),
'd':set('ef'),
'e':set('f'),
'f':set('')
}
seq=topSort(G)
print(seq)