波动数列

问题描述

　　观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

 

  思路：数论+DP.       总和s如此巨大，不能开个如此大的DP数组。设N个数的和为sum，  如果sum%n==s%n==r,   那么sum=k*n+r.  也就是对n个数每个数+k1,  sum+k1*n=s;         问题转换为和的余数为r=s%n的组合有多少个。   那么数组就可以开得下了。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Mod=100000007;
int dp[1005][1005];
int main()
{
    int n,s,a,b;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&s,&a,&b);
    dp[1][0]=1;//不妨设首项为0
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            //计算每一次+a或者-b对数列之和sum的贡献
            dp[i+1][(j+(n-i)*a)%n]=(dp[i+1][(j+(n-i)*a)%n]+dp[i][j])%Mod;
            dp[i+1][(j+i*b)%n]=(dp[i+1][(j+i*b)%n]+dp[i][j])%Mod;
            //等价于dp[i+1][(j-(n-i)*b)%n]+=dp[i][j];
        }
    }
    s=(s+1000000000LL*n)%n;//保证s非负且不改变s mod n的值
    printf("%d
",dp[n][s%n]);
    //若sum=s(mod n)则可以改变首项使得数列满足条件
    return 0;
}