波动数列

问题描述

　　观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

 

第一项未知，从第二项开始每一项比前一项加a或减b，最后加到一块，a和-b一共加了n*(n-1)/2次，这是固定不变的，所以只需要知道对应的a加了k次有多少种情况，然后如果可以组成这样的数列，就加到总的ans里，并不是所有的k都能组成题目要求的数列，实际上，

如果第i次，我们选择了加a，以后的每一项都要加a，即加了n - i +1个a，然后对于所有的选择加a的位置i，求和n - i + 1，就是加a的总次数，用动态规划，会计算所有的情况，最后采取判断是否能构成满足的数列，dp[i][j]记录前i项有几个加a，显然前0项，dp[0][0] = 1,

前1项，dp[1][0] = 1，其实所有的i，dp[i][0] = 1,dp[1][1] += dp[0][0] = 1,前两项dp[2][1] = dp[1][0] = 0,dp[2][2] = dp[1][0] = 1,dp[2][3] = dp[1][1] = 1.

对于所有的j(i<=j<=i*(i+1)/2)，满足dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i],其他的dp[i][j]=dp[i-1][j]，由于i只跟i-1有关，再前面的不需要记录，也就是i真正需要开到2，而且题目数据也大，开数组dp[2][1000001],最后对于所有的选择情况k，判断s-k*a+(n*(n-1)/2-k)*b是否能整出n，因为首项x是要被加n次的，也就是s-k*a+(n*(n-1)/2-k)*b=nx。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 100000007;
ll dp[5000001];
int main() {
    ll n,s,a,b;
    cin>>n>>s>>a>>b;
    ll ans = 0;
    dp[0] = 1;
    for(ll i = 1;i < n;i ++) {
        for(ll j = i * (i + 1) / 2;j >= i;j --) {
            dp[j] = (dp[j - i] + dp[j]) % mod;
        }
    }

    for(ll i = 0; i <= (n - 1) * n / 2; i ++) {
        ll t = s - i * a + ((n - 1) * n / 2 - i) * b;
        if(t % n == 0) ans = (ans + dp[i]) % mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}