[BZOJ]1069 最大土地面积(SCOI2007)

　　计算几何经典题，贴板子。

Description

　　在某块平面土地上有N个点，你可以选择其中的任意四个点，将这片土地围起来，当然，你希望这四个点围成的多边形面积最大。

Input

　　第1行一个正整数N，接下来N行，每行2个数x,y，表示该点的横坐标和纵坐标。

Output

　　最大的多边形面积，答案精确到小数点后3位。

Sample Input

　　5
　　0 0
　　1 0
　　1 1
　　0 1
　　0.5 0.5

Sample Output

　　1.000

HINT

　　数据范围 n<=2000，|x|,|y|<=100000。

Solution

　　求N个点中最大四边形的面积，然而实际上这道题求的是凸四边形的面积，数据中似乎并没有三角形凸包这种东西。

　　我们回顾一下经典问题，在N个点中取出面积最大的三角形怎么做。

　　首先我们很容易得出，最大三角形的3个点肯定都在凸包上。

　　所以先求出N个点的凸包，然后用旋转卡壳来做：

　　设A1~AM为凸包上逆时针顺序排列的点。

　　枚举三角形底边一端点Ai，求出距离AiAi+1最远的凸包上的点Ak；

　　然后从Ai+1起枚举三角形底边另一端点Aj，根据Ak求出距离AiAj最远的凸包上的点Ak'。

　　因为j从i+1开始递增，所以k'也从k开始单调递增；

　　同理又因为i是单调递增，k也是随着i单调递增。

　　以上两行就是巧妙地利用旋转卡壳在O(n^2)的时间内解决了最大三角形的问题。

　　旋转卡壳实际上就是用在二次函数上的三分法求得最远点。

　　最大三角形可以做，最大四边形不是同样的思路吗？（想好了再往下看吧）

　　三角形是枚举底边，四边形枚举对角线就行啦。

　　在对角线两边各做一个旋转卡壳就行，其实就是相当于两边各找一个最大三角形。时间复杂度还是O(n^2)。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MN 2005
#define eps 1e-12
using namespace std;
struct vec
{
    double x,y;
    friend vec operator-(const vec& a,const vec& b) {return (vec){a.x-b.x,a.y-b.y};}
    friend double operator/(const vec& a,const vec& b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
    friend double abs(const vec& a) {return a.x*a.x+a.y*a.y;}
}a[MN],q[MN<<1];
int n,tp;
double ans;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

bool cmp1(const vec& A,const vec& B) {return A.y<B.y||A.y==B.y&&A.x<B.x;}
bool cmp2(const vec& A,const vec& B) {return (A-a[1])/(B-a[1])>=eps;}
inline bool check(const vec& A,const vec& B,const vec& C)
{
    vec AB=B-A,AC=C-A;
    if (AB/AC<0) return true;
    else if (AB/AC<eps&&abs(AB)<abs(AC)) return true;
    return false;
}

int main()
{
    register int i,j,uj,luj,ldj;
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
    sort(a+1,a+n+1,cmp1); sort(a+2,a+n+1,cmp2);
    for (q[tp=1]=a[1],i=2;i<=n;q[++tp]=a[i++])
        for (;tp>1&&check(q[tp-1],q[tp],a[i]);--tp);
    for (i=1;i<=tp;++i) q[tp+i]=q[i];
    for (i=1,uj=4;i<=tp;++i)
    {
        for (;(q[i+2]-q[i])/(q[uj+1]-q[i])>(q[i+2]-q[i])/(q[uj]-q[i]);++uj);
        for (j=i+2,ldj=i+1,luj=uj;j<=i+tp-2;++j)
        {
            for (;(q[j]-q[i])/(q[luj+1]-q[i])>(q[j]-q[i])/(q[luj]-q[i]);++luj);
            for (;(q[ldj+1]-q[i])/(q[j]-q[i])>(q[ldj]-q[i])/(q[j]-q[i]);++ldj);
            ans=max(ans,((q[j]-q[i])/(q[luj]-q[i])+(q[ldj]-q[i])/(q[j]-q[i]))/2);
        }
    }
    printf("%.3lf",ans);
}

Last Word

　　所以最大五边形也是可以做的咯？