定理
欧拉定理
如果$a$与$n$互质，则$a^{psi(n)}equiv1(mod n)$，$psi(n)$为$1{sim}n$与$n$互质的个数
设$x_1,x_2,ldots,x_{psi(n)}$与$n$互质，那么考虑这样一些数$ax_1,ax_2,ldots,ax_{psi(n)}$
满足以下两个性质：
1、任意两个$ax_i,ax_j$模n余数不相等。
证：假设存在，即$ax_i{equiv}ax_j(mod n)$，则有$n{mid}(ax_i-ax_j)$，又因为$a$与$n$互质，
而$(x_i-x_j)<n$，所以不存在$n{mid}(ax_i-ax_j)$，也即不存在$ax_i{equiv}ax_j(mod n)$，从而得证。
归纳：对任意$ax_i$都成立，所以有$psi(n)$个不同的余数。
2、任意$ax_i$与$n$互质。
证：因为$a$与$n$互质，$x_i$又是与$n$互质的数集中的一个，所以$ax_i$与$n$互质。即$gcd(ax_i,n) =1$，根据欧几里得算法有，$gcd(ax_i,n)=gcd(n,ax_i\%n)=1$。
根据以上性质，可以得出$ax_1(mod n),ax_2(mod n),ldots,ax_{psi(n)}(mod n)$ 经过一定排序与$x_1,x_2,ldots,x_{psi(n)}$一一对应。
可以写出$ax_1(mod n){ast}ax_2(mod n){ast},ldots,{ast}ax_{psi(n)}(mod n)=x_1{ast}x_2{ast},ldots,{ast}x_{psi(n)}$
所以有$ax_1{ast}ax_2{ast},ldots,{ast}ax_{psi(n)}{equiv}x_1{ast}x_2{ast},ldots,{ast}x_{psi(n)}(mod n)$
即$(a^{psi(n)}-1){ast}x_1{ast}x_2{ast},ldots,{ast}x_{psi(n)}{equiv}0(mod n)$
因为$x_1{ast}x_2{ast},ldots,{ast}x_{psi(n)}$与$n$互质，所以$n{mid}(a^{psi(n)}-1)$
即$a^{psi(n)}{equiv}1(mod n)$，欧拉定理得证。
费马小定理
如果$p$为质数，对于任意的$a$，$a^p{equiv}a(mod p)$成立。
证：将上式可以写为$a^{p-1}{ast}a{equiv}a(mod p)$，因为$a{equiv}a(mod p)$恒成立，所以只须证$a^{p-1} mod p =1$
若$a$与$p$互质，由欧拉定理得$a^{p-1}{equiv}1(mod p)$，因为$p$为质数，所以$psi(p)=p-1$。
若$a$与$p$不互质，则$a^p$一定式$a$的倍数，所以$a^p{equiv}a{equiv}0(mod p)$。
定理得证。
欧拉定理推论
如果$a$与$p$互质，则$a^b{equiv}a^{b mod psi(p)}(mod p)$。
证：同上，将式子可以写为$a^{b-b mod psi(p)}{ast}{a^{b mod psi(p)}}{equiv}a^{b mod psi(p)}(mod p)$，
因为${a^{b mod psi(p)}}{equiv}a^{b mod psi(p)}(mod p)$恒成立，
所以只需证$a^{b-b mod psi(p)}mod p=1$，因为$psi(p){mid} (b-b mod psi(p))$，
设 $(b-b mod psi(p))=q{ast}psi(p)$
又因为$a^{qpsi(p)}=(a^{psi(p)})^q$，$a$与p互质，
所以$(a^{psi(p)})^q{equiv}1(mod p)$，从而得证$a^{b-b mod psi(p)}mod p=1$。
所以$a^b{equiv}a^{b mod psi(p)}(mod p)$。