[多项式][洛谷 P5488] 差分与前缀和

题目大意

给定一个长为 (n) 的序列 ({a_n})，求出其 (k) 阶差分或前缀和序列。
结果的每一项都需要对 (1004535809) 取模。(1leq nleq 10^5,0leq a_ileq 10^9,1leq kleq 10^{2333},k otequiv 0(mathrm{mod} 1004535809))

题解

首先考虑前缀和。

设 ({a_n}) 的一阶前缀和序列为 ({s_n})，设 ({a_n}) 的生成函数 (a(x)=sum_{i=1}^n a_ix^i)，({s_n}) 的生成函数是 (s(x)=sum_{i=1}^n s_ix^i)。

而 (s_n=x^nsum_{i=1}^na_i=sum_{i=1}^na_ix^icdot x^{n-i+1})。

设 (g(x)=sum_{i=0}^{infty} x^i)，则 (s(x)=a(x)*g(x))。

那么 ({a_n}) 的 (k) 阶前缀的生成函数(s_k(x)=a(x)*g^k(x))。

由麦克劳林公式， (sum_{i=0}^{infty}x^i=frac{1}{1-x})，所以 (s_k(x)=a(x)*left(frac{1}{1-x} ight)^k)。

考虑怎么求 (left(frac{1}{1-x} ight)^k) 的 (n) 次项系数。由广义二项式定理有

[left(frac{1}{1-x} ight)^k=(1-x)^{-k}=sum_{i=0}^{infty}inom{-k}{i}(-x)^i\ =sum_{i=0}^{infty}frac{-k^{underline{i}}}{i!}(-x)^i=sum_{i=0}^{infty}frac{(k+i-1)^{underline{i}}}{i!}x^i\ =sum_{i=0}^{infty}inom{k+i-1}{i}x^i ]

所以 (left(frac{1}{1-x} ight)^k) 的 (n) 次项系数为 (inom{k+n-1}{n})。

设 (f(n)=inom{k+n-1}{n})，则 (f(n)=frac{k+n-1}{n}f(n-1))。
我们先求出第一项，然后递推求出后面的系数。

然后使用NTT对 (a(x)) 和 (left(frac{1}{1-x} ight)^k) 作卷积，即可求出 (k) 阶前缀和。

然后考虑差分。

设 (h(x)) 是 ({a_n}) 的一阶差分的生成函数，则

[h(x)=sum_{i=1}^n(a_i-a_{i-1})x^iequivsum_{i=1}^na_ix^i-xsum_{i=1}^na_ix^iequiv(1-x)*a(x) pmod{x^{n+1}} ]

那么 (k) 阶差分有

[h_k(x)=a(x)*(1-x)^k ]

由二项式定理

[(1-x)^k=sum_{i=1}^kinom{k}{i}(-x)^k=sum_{i=1}^k(-1)^kinom{k}{i} x^i ]

于是 ((1-x)^k) 的 (n) 次项系数是 ((-1)^kinom{k}{i})。

而 (inom{k}{i}=frac{k-n+1}{n}inom{k}{n-1})，所以我们也可以递推求得。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define RG register int
#define LL long long

template<typename elemType>
inline void Read(elemType& T) {
    elemType X = 0, w = 0; char ch = 0;
    while (!isdigit(ch)) { w |= ch == '-';ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    T = (w ? -X : X);
}

inline LL ExPow(LL b, LL n, LL MOD) {
    if (MOD == 1) return 0;
    LL x = 1;
    LL Power = b % MOD;
    while (n) {
        if (n & 1) x = x * Power % MOD;
        Power = Power * Power % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return x;
}

const int maxn = 270000;
const LL P = 1004535809LL, G = 3, Gi = 334845270;

namespace Poly {
    int r[maxn];
    LL buf[maxn], buf1[maxn], buf2[maxn], buf3[maxn], buf4[maxn];
    int L, limit;

    LL pinv(LL x) { return ExPow(x, P - 2, P); }
    //快速数论变换 type=1:正变换 type=-1:逆变换
    void NTT(LL* A, int type) {
        for (int i = 0; i < limit; i++)
            if (i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);
        for (int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {
            LL Wn = ExPow(type == 1 ? G : Gi, (P - 1) / (mid << 1), P);
            for (int j = 0; j < limit; j += (mid << 1)) {
                LL w = 1;
                for (int k = 0; k < mid; k++, w = (w * Wn) % P) {
                    int x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid] % P;
                    A[j + k] = (x + y) % P;
                    A[j + k + mid] = (x - y + P) % P;
                }
            }
        }
        if (type == 1) return;
        LL inv_limit = pinv(limit);
        for (int i = 0; i < limit; ++i)
            A[i] = A[i] * inv_limit % P;
    }

    //多项式卷积 a(x): N-1次多项式 b(x): M-1次多项式
    void Conv(LL* A, int N, LL* B, LL M, LL* C) {
        L = 0; limit = 1;
        while (limit <= N + M) limit <<= 1, L++;
        for (int i = 0; i < limit; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
        NTT(A, 1); NTT(B, 1);
        for (int i = 0; i < limit; i++) C[i] = A[i] * B[i] % P;
        NTT(C, -1);
    }
}

char K[2500];
LL a[maxn], b[maxn], c[maxn], s[maxn], h[maxn], Inv[maxn];
int n, m, opt;
LL k = 0;

void Init() {
    Inv[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= 200000;++i)
        Inv[i] = ((-(P / i) * Inv[P % i]) % P + P) % P;
    return;
}

void PrefixSum() { // k阶前缀和
    s[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;++i)
        s[i] = ((k + i - 1) % P + P) % P * Inv[i] % P * s[i - 1] % P;
    Poly::Conv(a, n + 1, s, n + 1, s);
    for (int i = 1;i <= n;++i)
        printf("%lld ", s[i]);
    printf("
");
}

void Diff() { // k阶差分
    h[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;++i)
        h[i] = (-1LL * (k - i + 1) % P + P) % P * Inv[i] % P * h[i - 1] % P;
    Poly::Conv(a, n + 1, h, n + 1, h);
    for (int i = 1;i <= n;++i)
        printf("%lld ", h[i]);
    printf("
");
}   

int main() {
    Init();
    scanf("%d%s%d", &n, K + 1, &opt);
    m = strlen(K + 1);
    for (int i = 1;i <= m;++i)
        k = (k * 10 + K[i] - '0') % P;
    for (int i = 1;i <= n;++i)
        Read(a[i]);
    if (opt == 0) PrefixSum();
    else Diff();
        
    return 0;
}