尼姆博弈（Nimm's Game）
n堆物品，两人轮流取至少一个，最后一个取光的人胜利
1 int res = 0; 2 for(int i=1;i<=n;i++){ 3 res = res ^ a[i]; 4 } 5 if(res) return true; 6 else return false;
题目：有3堆硬币，分别是3，4，5。两人轮流取硬币，每人每次只能从某一堆中取至少一枚硬币，取到最后一枚硬币的为赢家。求先取硬币一方有无必胜的招法。
分析
首先可以想到，如果最后剩下两堆硬币一样多（不为零），最后一堆为零，那面对这一局势的人必输。
用（a,b,c）表示某种局势。（0,0,0）显然是必输态，谁遇到这种状态必输；另一种必输态就是（n,n,0），自己在某一堆拿走k枚硬币（0<k<=n），k在该区间为任意值，对方只要在另一堆中拿走k枚硬币，最后都是自己面临（0,0,0）状态，必输；仔细分析，（1,2,3）也是必输态，无论自己如何拿，对手都可以把局势变成（n,n,0）态。
因此现在要找到这种奇异局势的特点。
有人就想到使用异或操作，异或‘^’，a^b = a'b+ab'（a'为非a）。
我们使用XOR表示这种运算，1 XOR 1 = 0。（1,2,3）的按位模2加的运算：
1 = 01
2 = 10
XOR 3 = 11
----------------------------
0 = 00（不进位）
对于（n,n,0）局势也一样，结果为0。
任何奇异局势（a,b,c）都有a XOR b XOR c = 0
如果我们面对的是一个非必输态（a,b,c），如何保持自己必胜，让对手面对必输态呢？
假设a<b<c，我们只需将c变为a XOR b。
因为a XOR b XOR （a XOR b） = （a XOR a）XOR（b XOR b）= 0 XOR 0 = 0。
要将c变为a XOR b，只需对c进行|c - （a XOR b）|运算即可（取绝对值就行）。
如例题中的（3,4,5），先3 XOR 4 = 111，再|101 - 111| = 010 = 2。
1 static void f(int[] a){ 2 int sum = 0;//与0进行异或操作值不变 3 for(int i = 0; i < a.length; i++){ 4 sum ^= a[i];//异或操作 5 } 6 if(sum == 0){ 7 System.out.println("输了"); 8 return; 9 } 10 //打印必胜的方法 11 for(int i=0; i<a.length; i++){ 12 int x = sum ^ a[i]; 13 if(x<a[i]) System.out.println(a[i] + " --> " + x); 14 } 15 }
因此面对开局非必输态（a,b,c）且先手，取得必胜操作就是：对a进行|a - （b XOR c）| 或者 对b进行|b - （a XOR c）| 或者 |c - （a XOR b）|。
推荐相关文章：https://www.cnblogs.com/jiangjun/archive/2012/11/01/2749937.html