HDU 2686 (双线程) Matrix

这也是当初卡了很久的一道题

题意：从左上角的格子出发选一条路径到右上角然后再回到左上角，而且两条路径除了起点和终点不能有重合的点。问所经过的格子中的最大和是多少

状态设计：我们可以认为是从左上角出发了两条路径，然后同时到达右下角。容易看出，第k个阶段所有可能到达的格子构成一条斜线而且满足x1 + y1 = x2 + y2 = k + 1

dp[k][x1][x2]表示第k阶段两条路分别到达(x1, y1) (x2, y2)所能取得的最大值(y1 y2根据上面的等量关系来计算)，如果x1 = x2表示两条路径汇合于一点了

状态转移方程：

在求解第k阶段最优解时，首先枚举k-1阶段时的状态(x1', x2')，然后向四个方向延伸出(x1, x2)

dp[k][x1][x2] = max{dp[k-1][x1'][x2'] + num[x1][y1] | (x1=x2),  dp[k-1][x1'][x2'] + num[x1][y1] + num[x2][y2] | (x1≠x2)}

在循环的过程中可能会出现从一个点延伸的下一个点的情况，即两条路径可能重合，不过不要紧，因为格子里面都是正数，所以得到的最优解一定是两条不重合的路径

优化：

因为两条路径具有任意性，所以不妨规定第一条路在第二条路的下方(或同一水平线)，时间从92MS优化到62MS

第k阶段状态的转移只依赖第k-1阶段的状态，可以用滚动数组(由于原来的空间本不大，所以代码中没有实现滚动数组)

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int dp[70][35][35], num[35][35], n;

bool islegal(int x, int y)
{
    return (x>=1 && x<=n && y>=1 && y<=n);
}

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("2686in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int i, j, k, d1, d2, x1, x2, y1, y2;
    while(scanf("%d", &n) == 1)
    {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(i = 1; i <= n; ++i)
            for(j = 1; j <= n; ++j)
                scanf("%d", &num[i][j]);

        dp[1][1][1] = num[1][1];
        for(k = 2; k <= 2*n-1; ++k)
        {
            for(i = 1; i <= k - 1; ++i)
                for(j = 1; j <= i; ++j)
                {//枚举两条路径在k-1步时的状态
                    for(d1 = 0; d1 <= 1; ++d1)
                        for(d2 = 0; d2 <= 1; ++d2)
                        {//共四个延伸方向
                            x1 = i + d1, y1 = k + 1 - x1;
                            x2 = j + d2, y2 = k + 1 - x2;
                            if(islegal(x1, y1) && islegal(x2, y2))
                            {
                                if(x1 == x2)
                                    dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k-1][i][j] + num[x1][y1]);
                                else
                                    dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k-1][i][j] + num[x1][y1] + num[x2][y2]);
                            }
                        }
                }
        }
        printf("%d
", dp[2*n-1][n][n]);
    }
    return 0;
}