HDU 5396 区间DP 数学 Expression

题意：有n个数字，n-1个运算符，每个运算符的顺序可以任意，因此一共有 (n - 1)! 种运算顺序，得到 (n - 1)! 个运算结果，然后求这些运算结果之和 MOD 1e9+7.

分析：

类比最优矩阵链乘，枚举区间[l, r]中最后一个运算符的位置k。

如果运算符为乘法的话，那么根据乘法分配率这个乘法会分配进去。

这个区间中一共有r - l个运算符，其中最后一个运算符已经定了是第k个，左区间[l, k]有k - l个运算符，右区间[k + 1, r]有 r - k - 1 个运算符。

而且左、右区间运算符的先后顺序确定以后，两个区间之间的顺序是互不影响的，因此这样相同的结果一共有C(r - l - 1, k - l)

因此答案还要乘上这个数，d(i, j) += d(i, k) * d(k + 1, r) * C(r - l - 1, k - l) | op[k] = *

但如果是加减法的话就不能直接按照运算符进行区间合并了。

对于左区间的确定的一个运算顺序，右区间一共有 (r - k - 1)! 个运算结果，所以答案累加一个 d(l, k) * (r - k - 1)!

同样地，对于右区间一个确定的操作顺序，左区间对应有 (k - l)! 个运算结果，答案累加一个 d(k + 1, r) * (k - l)!

最后确定两个区间 r - l - 1 个运算符的顺序，最终答案乘上 C(r - l - 1, k - l)

最后总结一下答案就是：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 100 + 10;
const LL MOD = 1000000007;

int n;
LL a[maxn];
LL fac[maxn], C[maxn][maxn];
char op[maxn];

int vis[maxn][maxn];
LL d[maxn][maxn];

LL dp(int l, int r)
{
    if(vis[l][r]) return d[l][r];
    LL& ans = d[l][r];
    ans = 0;
    vis[l][r] = true;
    if(l == r) return ans = a[l];
    if(l + 1 == r)
    {
        if(op[l] == '*') return ans = a[l] * a[r] % MOD;
        if(op[l] == '+') return ans = (a[l] + a[r]) % MOD;
        if(op[l] == '-') return ans = (((a[l] - a[r]) % MOD) + MOD) % MOD;
    }
    for(int k = l; k < r; k++)
    {
        LL t1 = dp(l, k), t2 = dp(k + 1, r);
        LL t;
        if(op[k] == '*')
        {
            t = t1 * t2 % MOD;
            t = t * C[r - l - 1][k - l];
            ans = (ans + t) % MOD;
            continue;
        }

        t1 = t1 * fac[r - k - 1] % MOD;
        t2 = t2 * fac[k - l] % MOD;
        if(op[k] == '+') t = (t1 + t2) % MOD;
        else t = (((t1 - t2) % MOD) + MOD) % MOD;
        t = t * C[r - l - 1][k - l];
        ans = (ans + t) % MOD;
    }

    return ans;
}

int main()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    for(int i = 0; i < maxn; i++) C[i][0] = C[i][i] = 1LL;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
        for(int j = 1; j < i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % MOD;

    while(scanf("%d", &n) == 1 && n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%I64d", a + i);
        scanf("%s", op + 1);
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        printf("%I64d
", dp(1, n));
    }

    return 0;
}