题意:
你现在要打(n)个字符,但是程序随时可能会崩溃。
你可以在恰当的时机按下 (Ctrl-S)键,崩溃后,会从最后一次保存的情况继续开始打字。
具体是这样的:
- 在每个第(i-0.1s(i>0))的时候,程序崩溃的概率为(p)
- 在每个第(is(i geq 0))的时候,你可以一口气按下(x)个键来存盘
- 在每个第(i+0.1s(i geq 0))的时候,你可以按下一个键来打字
求采取最优策略下,打完这(n)个字符,并且最后存盘,总按键次数的期望。
分析:
先不考虑可以存盘的情况,设(d(i))为打印(i)个字符按键次数的期望。
有递推公式:(d(i)=d(i-1)+1+p cdot d(i))
当你打印出前(i-1)个字符,刚刚打完第(i)个的时候:
- 有概率(p)会崩掉,这时候要重新开始,还需要的按键数的期望为(d(i))
- 有概率(1-p)没崩,打印完成了
化简一下得到:(d(i)=frac{1}{1-p}d(i-1)+frac{1}{1-p})
然后再考虑存盘的情况,我们枚举存了(x)次盘,也就是把这(n)个字符分为(x)段,每打完一段就存一次盘。
由于(frac{1}{1-p}>1),可以看出(d(n))是指数型增长的,所以就尽可能均匀地把(n)个字符分成(x)段。
或者也可以求一下(d(n))的通项公式为:(d(n)=frac{1}{p(1-p)^n}-frac{1}{p})来验证。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 10;
const double INF = 1e20;
double d[maxn];
int main()
{
int T; scanf("%d", &T);
for(int kase = 1; kase <= T; kase++) {
int n, x; double p;
scanf("%d%lf%d", &n, &p, &x);
d[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) d[i] = (d[i - 1] + 1.0) / (1.0 - p);
double ans = INF;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int k = n / i, r = n % i;
ans = min(ans, r*d[k+1] + (i-r)*d[k] + i*x);
}
printf("Case #%d: %.6f
", kase, ans);
}
return 0;
}