Codeforces 678E Another Sith Tournament 状压DP

题意：

有(n(n leq 18))个人打擂台赛，编号从(1)到(n)，主角是(1)号。
一开始主角先选一个擂主，和一个打擂的人。
两个人之中胜的人留下来当擂主等主角决定下一个人打擂，败的人退出比赛，直到比赛只剩一个人。
已知任意两人之间决胜的胜率(P_{ij})，求主角最终能够获胜的概率。

分析：

设(d(S, i))表示存活的人的集合为(S)，当前擂主为(i in S)，主角获胜的概率。
为了方便我们把编号设为(0 sim n-1)，递推边界(d(1,0)=1)。

考虑(d(S,i))，枚举下一个要打擂的人(k in S)：

• (P_{ij})的概率(i)战胜(j)，擂主为(i)，状态转移到(d(S-j,i))
• (P_{ji})的概率(j)战胜(i)，擂主为(j)，状态转移到(d(S-i,j))

因为主角可以决定打擂人选(j)，所以(d(S,i)=max{ P_{ij}d(S-j,i) + P_{ji}d(S-i,j) })

最后枚举最开始的擂主，选一个最大值就是答案。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

double p[18][18], d[1 << 18][18];

int main()
{
	int n; scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++)
		for(int j = 0; j < n; j++) scanf("%lf", &p[i][j]);

	d[1][0] = 1;
	for(int S = 3; S < (1 << n); S += 2) {
		for(int i = 0; i < n; i++) if(S&(1<<i)) {
			for(int j = 0; j < n; j++) if(j != i && (S&(1<<j))) {
				d[S][i] = max(d[S][i], p[i][j]*d[S^(1<<j)][i] + p[j][i]*d[S^(1<<i)][j]);
			}
		}
	}

	double ans = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++) ans = max(ans, d[(1<<n)-1][i]);

	printf("%.15f
", ans);

	return 0;
}