CF1139D Steps to One

题目链接：洛谷

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这个公式可真是个好东西。（哪位大佬知道它叫什么名字的？）

如果$X$恒$geq 0$，那么

$$E[X]=int_0^{+infty}P(X>t)dt$$

呸，我什么都没写。

如果$Xin N$，那么

$$E[X]=sum_{i=0}^{+infty}P(X>i)$$

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根据上面的公式，我们首先看看如何计算$P(X>i)$

这个表示前$i$个数的$gcd$不为1，我们反面考虑，$gcd$为1的概率可以通过莫比乌斯反演求出，所以

$$P(X>i)=1-sum_{d=1}^mmu(d)(frac{lfloorfrac{m}{d} floor}{m})^i$$

$$=-sum_{d=2}^mmu(d)(frac{lfloorfrac{m}{d} floor}{m})^i$$

带入上面的公式。

$$E[X]=sum_{i=1}^{+infty}P(x>i)+1$$

$$=1-sum_{i=1}^{+infty}sum_{d=2}^mmu(d)(frac{lfloorfrac{m}{d} floor}{m})^i$$

$$=1-sum_{d=2}^{m}mu(d)sum_{i=1}^{+infty}(frac{lfloorfrac{m}{d} floor}{m})^i$$

$$=1-sum_{d=2}^mmu(d)frac{lfloorfrac{m}{d} floor}{m-lfloorfrac{m}{d} floor}$$

预处理$mu$和$inv$之后，时间复杂度$O(m)$

#include<cstdio>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100003, mod = 1e9 + 7;
inline int add(int a, int b){int res = a + b; if(res >= mod) res -= mod; return res;}
inline int dec(int a, int b){int res = a - b; if(res < 0) res += mod; return res;}
int n, mu[N], pri[N], tot, inv[N], ans, tmp;
bool notp[N];
int main(){
    scanf("%d", &n);
    inv[1] = 1;
    for(Rint i = 2;i <= n;i ++) inv[i] = (LL) (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
    notp[0] = notp[1] = true;
    mu[1] = 1;
    for(Rint i = 2;i <= n;i ++){
        if(!notp[i]){mu[i] = mod - 1; pri[++ tot] = i;}
        for(Rint j = 1;j <= tot && i * pri[j] <= n;j ++){
            notp[i * pri[j]] = true;
            if(i % pri[j]) mu[i * pri[j]] = mod - mu[i];
            else break;
        }
    }
    for(Rint i = 2;i <= n;i ++){
        tmp = n / i;
        ans = add(ans, (LL) mu[i] * tmp % mod * inv[n - tmp] % mod);
    }
    printf("%d", dec(1, ans));
}