【u028】数列的整除性

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【问题描述】

对于任意一个整数数列，我们可以在每两个整数中间任意放一个符号'+'或'-'，这样就可以构成一个表达式，也就可以计算出表达式的值。比如，现在有一个整数数列：17，5，-2，-15，那么就可以构造出8个表达式： 17+5+（-21）+15=16 17+5+（-21）-15=-14 17+5-（-21）+15=58 17+5-（-21）-15=28 17-5+（-21）+15=6 17-5+（-21）-15=-24 17-5-（-21）+15=48 17-5-（-21）-15=18 对于一个整数数列来说，我们能通过如上的方法构造出不同的表达式，从而得到不同的数值，如果该数值能够被k整除的话，那么我们就称该数列能被k整除。 在上面的例子中，该数列能被7整除（17+5+（-21）-15=--14），但不能被5整除。现在你的任务是，判断某个数列是否能被某数整除。

【输入格式】

第一行是一个整数m，表示有m个子任务。接下来就是m个子任务的描述。 每个子任务有两行。第一行是两个整数n和k(1<=n<=10000, 2<=k<=100)，n和k中间有一个空格。n 表示数列中整数的个数；k就是需要你判断的这个数列是否能被k 整除。第二行是数列的n个整数，整数间用空格隔开，每个数的绝对值都不超过10000。

【输出格式】

输出文件应有m 行，依次对应输入文件中的m 个子任务，若数列能被k 整除则输出 "Divisible"，否则输出 "Not divisible" ，行首行末应没有空格。

【数据规模】

Sample Input1

2
4 7
17 5 -21 15
4 5
17 5 -21 15

Sample Output1

Divisible
Not divisible

【题解】

这是一道动态规划的问题。

设f[i][j]表示前i个数余数为j的情况是否出现

则

f[i+1][(j+a[i+1])%k] = f[i+1][(j+a[i+1])%k] || f[i][j];

f[i+1][|j-a[i+1]|%k] = f[i+1][|j-a[i+1]|%k] || f[i][j];

然后一开始,如果输入的n个数字，出现负数，就直接取相反数改为正数就好。

这里用到了同余率(反正就是(a+b-c)  % k == ((a+b) %k - c)%k 这样。因为我的题A掉了。所以这个等式应该是成立的。。

然后对于每一个数字，只有加或减两张情况。

然后之所以用余数来表示，是因为余数这个变量的k值不大，最大只有100.是适合用来作为状态的。

如果f[n][0]为true，则表示这个数列能够被整除。

【代码】

#include <cstdio>
#include <cstring>

bool f[10001][101];
int a[10001];
int m, n,k;

int main()
{
	scanf("%d", &m); //有m组数据
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		memset(f, false, sizeof(f));
		scanf("%d%d", &n, &k);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			scanf("%d", &a[i]); //如果是负数就直接改为正数就好。
			if (a[i] < 0)
				a[i] = -a[i];
		}
		f[1][a[1] % k] = true;//第一个数前的符号是不能改的。
		for (int i = 2;i <= n;i++)
			for (int j = 0;j <= k;j++)//其他数字的符号则可以改。
				if (f[i - 1][j])
				{
					int temp = j + a[i];//加法的话temp不会出现负数所以不用加绝对值。
					temp = (temp % k);
					f[i][temp] = true;
					temp = j - a[i];//减法就可能为负数了。要注意。
					if (temp < 0)
						temp = -temp;
					temp = (temp % k);
					f[i][temp] = true;//从前一个状态推到当前的状态。
				}
		if (f[n][0])//如果前n个数的余数为0.就表示这个数列能够被整除。
			printf("Divisible
");
		else
			printf("Not divisible
");
	}
	return 0;
}