【u011】乘法难题

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【问题描述】

乘法难题是一种用一行的卡片来玩的单人游戏，每张卡片上有一个正整数。在游戏者从中拿出一卡片，并且得到一个分数，它等于被拿走的卡片上的数与这张卡片左右两张卡片上的整数的积。第一张与与最后一张卡片不能被拿出。在最后一次移动后，这行卡片中只剩下两张。 你的目标是怎样确定拿卡片的顺序，以使得总分数的值最小。例如，有一行的卡片，它上面的数字为10 1 50 20 5, 游戏者可以先取走1这张卡片,然后是20 和50,总分数为10*1*50 + 50*20*5 + 10*50*5 = 500+5000+2500 = 8000，如果他先拿50, 然接着20，最后取出1, 总分数为1*50*20 + 1*20*5 + 10*1*5 = 1000+100+50 = 1150。

【输入格式】

输入文件的第一行包含卡片的总数N(3 <= N <= 100)，第二行包含N个范围在1到100之间的整数（两个整数之间有一个空格）

【输出格式】

输出文件包含一个整数，为最少的分数。

【数据规模】

Sample Input1

6
10 1 50 50 20 5

Sample Output1

3650

【题解】

设f[i][j]表示从i到j,除了i和j之外都被取走所能得到的最小分数。

f[i][j] = min(f[i][k]+f[k][j]+a[i]*a[k]*a[j]); i<k<j;

初值:f[i][i+1] == 0;

更新方式如下：

for (int L=2;L<= n;L++)

for (int s = 1;s <= n-l;s++)

{
int t = s+l;

for (int k = s+1;k<=t-1;k++)

f[i][j] = min(f[s][k]+f[k][t]+a[i]*a[k]*a[t],f[i][j]);
}

最后答案为f[1][n];

这里一定要先枚举这段的长度。

这样我们可以先获得像f[1][3],f[2][4],f[3][5]..f[n-2][n]这样的值。

然后我们在求f[1][4]的时候k在2..3枚举

f[1][4] = min(f[1][2]+f[2][4]+a[1]*a[2]*a[4],f[1][3]+f[3][4]+a[1]*a[3]*a[4])；

可以看到我们在求f[1][4]的时候要用到的f[2][4],f[1][3]都已经求出来了 。

这是原因所在。

也是这种类型动规的原理->不断利用小的区间扩大区间。

【代码】

#include <cstdio>
#include <cstring>

int a[101],n,f[101][101];

int main()
{
	memset(f, 127 / 3, sizeof(f));//一开始f数组赋值为一个很大的数字。
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)//读入数据
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n - 1; i++)//从i到i+1除了i和i+1都不拿 那就是什么都没有。
		f[i][i + 1] = 0;
	for (int l = 2;l <= n;l++)//先枚举小的长度。为后面大的长度作铺垫。
		for (int s = 1; s <= n - l; s++)//枚举起点。
		{
			int t = s + l;//这是终点
			for (int k = s + 1; k <= t - 1; k++)//利用之前得到的小的区间最优值扩大。
			{
				int temp = f[s][k] + f[k][t] + a[s] * a[t] * a[k];//f[s][k]里有s,k。f[k][t]也有k,t。
				//且只剩下k没取。那就把它取下来。看看是否更优。
				if (temp < f[s][t])
					f[s][t] = temp;
			}
		}
	printf("%d
", f[1][n]);
	return 0;
}