【9925】0/1背包

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【问题描述】

一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为C1,C2,...,Cn.若
每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。

【输入格式】

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；
第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出格式】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

Sample Input

10 4
2  1
3  3
4  5
7  9

Sample Output

12

【法1】

设f[i][j]表示前i个物品，装的总重量不超过j时所获得的最大价值。

一开始初值都为0；

f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]};其中w[i]是第i个物品的重量,c[i]是第i个物品的价值。

f[i-1][j]表示不选第i个物品，d[i-1][j-w[i]] +c[i],表示选第i个物品。

前i个物品装的总重量不超过j可以由前i-1个物品，总重量不超过j-w[i] 再装一个物品 得到，这时候装了一个物品就变成不超过j了。

这是样例的模拟结果；

在第1个物品进行选择后：f[1][0]=0 f[1][1]=0 f[1][2]=1 f[1][3]=1 f[1][4]=1 f[1][5]=1 f[1][6]=1 f[1][7]=1 f[1][8]=1 f[1][9]=1 f[1][10]=1 


在第2个物品进行选择后：f[2][0]=0 f[2][1]=0 f[2][2]=1 f[2][3]=3 f[2][4]=3 f[2][5]=4 f[2][6]=4 f[2][7]=4 f[2][8]=4 f[2][9]=4 f[2][10]=4 


在第3个物品进行选择后：f[3][0]=0 f[3][1]=0 f[3][2]=1 f[3][3]=3 f[3][4]=5 f[3][5]=5 f[3][6]=6 f[3][7]=8 f[3][8]=8 f[3][9]=9 f[3][10]=9 

在第4个物品进行选择后：f[4][0]=0 f[4][1]=0 f[4][2]=1 f[4][3]=3 f[4][4]=5 f[4][5]=5 f[4][6]=6 f[4][7]=9 f[4][8]=9 f[4][9]=10 f[4][10]=12 

【代码1】

#include <cstdio>
#include <cstring>

int m,n,f[50][250],w[50],c[50];

void input_data()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for (int i = 1;i <= n;i++) //输入各个物品的信息 
		scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
}	

void get_ans()
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	for (int i = 1;i <= n;i++) //枚举第i个物品 
		for (int j = m;j >= 0;j--) //枚举所占空间 
			{
				f[i][j] = f[i-1][j]; //表示第i个物品不拿 
				if (j >= w[i]) //如果第i个物品在当前所用空间情况下可以拿则尝试拿。 
					if (f[i-1][j-w[i]] + c[i] > f[i][j])
						f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + c[i];
			}
}

void output_ans()
{
	printf("%d",f[n][m]);	
}

int main()
{
	input_data();
	get_ans();
	output_ans();
	return 0;	
}

【法二】

把二维换成一维的数组。

f[j]表示使用的容量不超过j时，所获得的最大利益。

f[j] = max{f[j],f[j-w[i]] + c[i]}

等于f[j]表示这个物品不选，f[j-w[i]] + c[i]则表示选了一个重量为w[i]的物品。

大家可以看一下f[j]数组的更新情况

在对第1号背包进行抉择之后：f[0]=0 f[1]=0 f[2]=1 f[3]=1 f[4]=1 f[5]=1 f[6]=1 f[7]=1 f[8]=1 f[9]=1 f[10]=1 


在对第2号背包进行抉择之后：f[0]=0 f[1]=0 f[2]=1 f[3]=3 f[4]=3 f[5]=4 f[6]=4 f[7]=4 f[8]=4 f[9]=4 f[10]=4 


在对第3号背包进行抉择之后：f[0]=0 f[1]=0 f[2]=1 f[3]=3 f[4]=5 f[5]=5 f[6]=6 f[7]=8 f[8]=8 f[9]=9 f[10]=9 


在对第4号背包进行抉择之后：f[0]=0 f[1]=0 f[2]=1 f[3]=3 f[4]=5 f[5]=5 f[6]=6 f[7]=9 f[8]=9 f[9]=10 f[10]=12 

可以和上面的二维进行对比，会发现是一样的。也就是说，其省略了一维的数组，却得到了相同的结果。

要注意这里的j这层循环一定要倒序

不然，如果有一个物品的重量为1

你更新完f[5],然后又更新f[6],又更新f[7]。。。只有一个物品。。你更新了好几次。（这个是完全背包？？我不确定）

【代码2】

#include <cstdio>
#include <cstring>

int m,n,f[250],w[50],c[50];

void input_data()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for (int i = 1;i <= n;i++) //输入各个物品的信息 
		scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
}	

void get_ans()
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	for (int i = 1;i <= n;i++) 
		{
			for (int j = m;j >= w[i];j--) //注意一定要倒序枚举，原因我在题解里面讲了。认真体会下。 
				if (f[j-w[i]] + c[i] > f[j])
					f[j] = f[j-w[i]] + c[i];
		}
				 
}

void output_ans()
{
	printf("%d",f[m]);	
}

int main()
{
	input_data();
	get_ans();
	output_ans();
	return 0;	
}