BZOJ 2396

目录

• 题目
  • 题目大意
  • 数据范围与提示
• 解法
• 代码

题目

题目大意

给出三个行数和列数均为 (n) 的矩阵 (A,B,C)，判断 (AB=C) 是否成立。

数据范围与提示

(nle 1000)，矩阵中的数字大于等于 (0) 小于 (1000)，数据组数不超过 (5) 组。

解法

随机一个 (n imes 1) 的列向量 (x)，我们 (mathcal O(n^2)) 地判断 (ABx) 是否与 (Cx) 相等。关于 (ABx) 可以运用乘法结合律先算出 (D=Bx)，再算出 (ABx=AD)。

为啥捏？尝试分析 (P(AB e Cand ABx=Cx))。

首先转化一下 (ABx=Cx)，发现满足条件的 (xin ext{ker}(AB-C))。

而我们有结论：( ext{rank}(A)+ ext{dim}( ext{ker}(A))=n)。因为 (AB e C)，所以 ( ext{rank}(AB-C)ge 1)，从而推出 ( ext{dim}( ext{ker}(A))le n-1)。

由此观之，用 ( ext{ker}(AB-C)) 组成子空间的维度至少比 (V) 的维度少 (1)。我们感性理解，从二维拓展到三维会使空间整点个数乘 (t)（其中 (t) 为值域包含整数个数），对于这道题大约就是 (1000)。所以概率约为 (frac{1}{1000})，为了保险可以多随机几次。

代码

#include <cstdio>

#define print(x,y) write(x),putchar(y) 

template <class T> inline T read(const T sample) {
    T x=0; int f=1; char s;
    while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
    while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
    if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10^48);
}

#include <ctime>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int maxn=1005;

int n,a[maxn][maxn],r[maxn];
int b[maxn][maxn],c[maxn][maxn];
int d[maxn];

int main() {
	srand(time(NULL)); 
	while(scanf("%d",&n)!=EOF) {
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j)
				a[i][j]=read(9);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j)
				b[i][j]=read(9);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j)
				c[i][j]=read(9);
		bool flag=0;
		for(int T=1;T<=10;++T) {
			for(int i=1;i<=n;++i)
				r[i]=rand(),d[i]=0;
			for(int i=1;i<=n;++i)
				for(int j=1;j<=n;++j)
					d[i]+=b[i][j]*r[j];
			for(int i=1;i<=n;++i) {
				int t1=0,t2=0;
				for(int j=1;j<=n;++j)
					t1+=a[i][j]*d[j],
					t2+=c[i][j]*r[j]; 
				if(t1^t2) {
					flag=1; break;
				}
			}
			if(flag) break;
		}		
		puts(flag?"No":"Yes");
	}
	return 0;
}