[学习笔记] zkw 线段树

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• 建树
• 单点修改，区间查询
• 区间修改，区间查询
  • 懒标记
  • 差分
• 区间修改，单点查询

建树

对于维护长度为 (n) 的序列，底层至少 (n+2) 个点。(t_{N+i}) 就代表下标 (i) 对应的叶子节点。底层的第一个节点的编号就是 (N)，它是一个虚点。

计算一下可知 (N) 最多增加到 (2n+2)，由于我们需要用到 (t_{N+n+1})（为什么后面再说），所以大约开三倍空间即可。

for(N=1;N<n+2;N<<=1);
for(int i=1;i<=n;++i)
    t[N+i]=read(9);
for(int i=N-1;i;--i) // 注意从 N-1 开始更新，否则会越界
    t[i]=t[i<<1]+t[i<<1|1];

单点修改，区间查询

void change(int o,int k) {
    for(t[N+o]=k,o=N+o>>1;o;o>>=1)
        t[o]=t[o<<1]+t[o<<1|1];
}

建立两个哨兵节点 (l,r) 代表区间 ([L,R]) 的 (L-1,R+1) 两个点。两个哨兵同时上移，如果 (l) 是左儿子，就将它对应的右儿子加入贡献。(r) 同理。

由于 ([L,R]) 可能取到 ([1,n])，所以 (t_N,t_{N+n+1}) 这两个虚点是必要的。

int ask(int l,int r) {
    int ret=0;
    for(l=N+l-1,r=N+r+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1) {
        if(~l&1) ret+=t[l^1];
        if(r&1) ret+=t[r^1];
    }
    return ret;
}

区间修改，区间查询

先放一张图吧：

懒标记

维护 (t) 数组为区间和，(la) 数组是可持久化懒标记。

统计 (ls,rs) 分别为 (l,r) 向上跳时经过的 区间内 的点的个数，( ext{all}) 维护 (l,r) 跳跃当前层的节点个数。 当 (l,r) 成为某点的左右儿子时，也要继续往上更新。

void modify(int l,int r,int k) {
    int ls=0,rs=0,all=1;
    for(l=N+l-1,r=N+r+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1,all<<=1) {
        t[l]+=k*ls,t[r]+=k*rs; // 此时的 ls,rs 已经是 l,r 的儿子部分了
        if(~l&1) {
            la[l^1]+=k; t[l^1]+=k*all;
            ls+=all;
        }
        if(r&1) {
            la[r^1]+=k; t[r^1]+=k*all;
            rs+=all;
        }
    }
    for(;l;l>>=1,r>>=1) 
        t[l]+=k*ls,t[r]+=k*rs;
}

询问同理。对于不查询完整区间的，用懒标记贡献；反之直接加上 (t) 数组即可。

int ask(int l,int r) {
	int ls=0,rs=0,all=1,ret=0;
    for(l=N+l-1,r=N+r+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1,all<<=1) {
    	ret+=la[l]*ls+la[r]*rs;
        if(~l&1) ret+=t[l^1],ls+=all;
        if(r&1) ret+=t[r^1],rs+=all;
    }
    for(;l;l>>=1,r>>=1) 
        ret+=la[l]*ls+la[r]*rs;
    return ret;
}

差分

看了半天没有懂，于是就 咕咕咕 了。

区间修改，单点查询

此时将原数组当作懒标记数组来使用即可。代码十分简单。需要注意的是修改时，在 (l,r) 成为某点的左右儿子后就不再修改了。画画图可以知道此时已经将所修改区间到根的路径都打上了懒标记。

void modify(int l,int r,int k) {
    for(l=N+l-1,r=N+r+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1) {
        if(~l&1) t[l^1]+=k;
        if(r&1) t[r^1]+=k;
    }
}

查询时将叶子到根的路径上懒标记累加即可。

int ask(int x) {
    int ret=0;
    for(x=N+x;x;x>>=1) ret+=t[x];
    return ret;
}