猜球球

题面：

有n个盒子，有个小球小球出现在每个盒子的概率为p[i]，你现在可以问类似（小球是否在盒子{1,4,……,n}中？）（1-n的一个子集）的问题，问策略最优情况下，猜出小球所在盒子的猜测次数的数学期望。

思路：

因为任意一次询问和回答，都可以确定其中一半的球球集合包含目标球，另一半则不包含目标球。然后再对包含目标球的球球集合进一步划分，直到包含目标球的集合里只包含一个球，就可以百分百确定了。这样就得到了一个决策树（二叉形状），二叉决策树根节点到每个叶子的路到都是期中一种情况的解决方案，显然深度就是询问次数。 则有：

期望=∑(询问次数每种情况出现的概率)

=∑(叶子对应的深度它出现在盒子里的概率)。

而我们知道：这个公式 ∑（深度*元素出现的概率 ） 与某种编码方案的编码长度期望公式 相同。询问次数的期望最小也就是编码长度的期望最小。而解决这个问题的经典方法就是——哈夫曼树。

一句话总结：构造一棵哈夫曼树，然后有

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<double,int>pa;
const int N=20000;
 
vector<int> G[N];
double a[N],ans;
int n,cnt;
priority_queue<pa,vector<pa>,greater<pa> >q;
 
void dfs(int x, int d) {
    if (G[x].size() == 0) ans += a[x] * d;
    for (auto it : G[x]) {
        dfs(it, d + 1);
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lf", &a[i]);
        if (a[i] == 0) {
            n--;
            i--;
            continue;
        }
        q.push(pa(a[i], i));
    }
    cnt=n;
    while (q.size() >= 2) {
        pa t1 = q.top();
        q.pop();
        pa t2 = q.top();
        q.pop();
        pa t3(t1.first + t2.first, ++cnt);
        q.push(t3);
        G[cnt].push_back(t1.second);
        G[cnt].push_back(t2.second);
    }
    dfs(q.top().second, 0);
    printf("%.7lf
", ans);
}