2017-9-16C#笔记（枚举算法，百元买鸡）

1. 枚举算法:

百元买鸡

枚举算法的Ì例子:问题如下:某3人有100元打算买100只鸡，其中公鸡为5元每只，母鸡为3元每只，小?鸡为3只1块钱，问可以买多少只公鸡,母鸡,小鸡?

            int x, y, z;

            for (x = 0; x <= 20; x++)

                for (y = 0; y <= 33; y++)

                    for (z = 0; z <= 100; z++)

                        if ((x + y + z == 100) && (5 * x + y * 3 + z / 3 == 100) && (z % 3 == 0))

                            Console.WriteLine("公鸡|：{0}只,母?鸡：{1}只，小鸡：{2}只", x, y, z);

上述运算执行的次数为21*34*101=71114

问题的优化思想如下:

问题中,由于三种鸡的和是固定的,因此只要枚举的两种鸡(x,y),第三种鸡就可以根据约定的条件求得（z=100-x-y）,就这样就缩小了枚举的范围变成了双重循环。之所以选择Z，是因为Z的数值较大，优化的效果更好，此时的循环的次数就变成了：21*34=714。

int x, y, z;

            for (x = 0; x <= 20; x++)

                for (y = 0; y <= 33; y++)

               {

                      z=100-x-y;

              if ((x + y + z == 100) && (5 * x + y * 3 + z / 3 == 100) && (z % 3 == 0))

                            Console.WriteLine("公鸡|：{0}只,母?鸡：{1}只，小鸡：{2}只", x, y, z);

}

问题的再进一步的优化：

  如果从数学的角度来考虑枚举算法的进一步的优化，程序的效率就会进一步的优化

根据题意：约束条件为：5X+3Y+Z/3=100；X+Y+Z=100；约去一个Z则得到7X+9Y=100；X+Y+Z=100；所以只要枚举出X（最多位14）则Y，Z的值就可以自然而然的得到确定了。

计算1至N中数字X出现的次数，其中N〉=9，X为0-9

 

方法1：采用枚举的算法，分立出1-N范围内所有的数据的每一位上的数字，查看是否为X，然后计数。

int cnt = 0, i, k, n, x;

            n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

            x = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

            for (i=1;i<=n;i++)

            {

                k=i;

                for (; k>0;k/=10)

                    if (k %10==x)

                        cnt++;

            }

            Console .WriteLine ("{0}",cnt);

这个方法的缺点就是时间复杂度太高，计算市一个数中X的出现的次数的时间复杂度为O(log₁₀N)，计算全部的数中X的时间复杂度为O(nlog₁₀N)

算法的优化思维如下：

利用数学公式直接计算最终的结果，一次求出数字中X在个无人，视为百威的出现的是次数，在相加得到最终的结果。这里X的范围为1-9，因为=0不符合下列规律，需要单独的计算。

首先规律如下：

（1）   从1到10，在他们的个位数中任意的X都出现了1次

（2）   从1至100，在他们的十位数中，任意的X都出现了10次

（3）   从1至1000，在他们的百位数中，任意的X都出现了100次

以此类推，从1至10ⁱ，在他们的左数第二位（右数第i位）中，任意的X都出现了10^i-1次。

计算右数第i位包含的X的个数算法：

（1）   取第i位左边（高位）的数字，乘以10^i-1，得到基础值a。

（2）   取第i位数字，计算修正值：

如果大于X，则结果为a+10^i-1；

如果小于X，则结果为a。

如果等于X，则第i为右边（低位）数字，设为b，最后的结果为a+b+1。时间复杂度为

O（log₁₀N）

代码如下：

   int cnt = 0, i, k, n, x, c;

            n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

            x = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

            for (i = 1; (k = n / i) != 0; i*=10)

            {

                cnt += (k / 10) * i;

                c = k % 10;

                if (c> k)

                    cnt += i;

                else if (c == x)

                    cnt += n - k * i + 1;

            }

            Console.WriteLine("{0}", cnt);