[网络流24题]数字梯形问题

Description

给定一个由$n$行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有$m$个数字。从梯形的顶部的$m$个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。
规则$1$：从梯形的顶至底的$m$条路径互不相交。
规则$2$：从梯形的顶至底的$m$条路径仅在数字结点处相交。
规则$3$：从梯形的顶至底的$m$条路径允许在数字结点相交或边相交。

  

对于给定的数字梯形，分别按照规则$1$，规则$2$，和规则$3$计算出从梯形的顶至底的$m$条路径，使这$m$条路径经过的数字总和最大。

Input

第$1$行中有$2$个正整数$m,n$，分别表示数字梯形的第一行有$m$个数字，共有$n$行。

接下来的$n$行是数字梯形中各行的数字$a_{i,j}$。第$i$行有$m+i-1$个数字。

Output

$3$行,每行$1$个整数，分别表示按照规则$1$，规则$2$，和规则$3$计算出的最大数字总和。

Sample Input

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

Sample Output

66
75
77

HINT

$m,n;leq;20$

Solution

• 规则$1$:

将每个点拆成$x_{i,j},y_{i,j}$. (限制点流量)

从$s$向梯形顶层每个$x_{i,j}$连一条容量为$1$,费用为$0$的有向边,

从梯形底层每个$y_{i,j}$向$t$连一条容量为$1$,费用为$0$的有向边,

从$x_{i,j}$向$y_{i,j}$连一条容量为$1$,费用为$a_{i,j}$的有向边,

从$y_{i,j}$向$x_{i+1,j},x_{i+1,j+1}$连一条容量为$1$,费用为$0$的有向边.

求最大费用最大流.

• 规则$2$:

从$s$向梯形顶层每个$x_{i,j}$连一条容量为$1$,费用为$0$的有向边,

从梯形底层每个$x_{i,j}$向$t$连一条容量为$+infty$,费用为$a_{i,j}$的有向边,

从$x_{i,j}$向$x_{i+1,j},x_{i+1,j+1}$连一条容量为$1$,费用为$a_{i,j}$的有向边.(限制边流量)

求最大费用最大流.

• 规则$3$:

从$s$向梯形顶层每个$x_{i,j}$连一条容量为$1$,费用为$0$的有向边,

从梯形底层每个$x_{i,j}$向$t$连一条容量为$+infty$,费用为$a_{i,j}$的有向边,

从$x_{i,j}$向$x_{i+1,j},x_{i+1,j+1}$连一条容量为$+infty$,费用为$a_{i,j}$的有向边.

求最大费用最大流.

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 25
#define M 45
#define V 600
#define E 2000
#define INF 1000000000
using namespace std;
struct graph{
    int nxt,to,f,w;
}e[E];
struct edge{
    int e,v;
}pre[E];
int a[N][M],b[N][M],g[V],dis[V],n,m,s,t,cnt;
bool inq[V];
queue<int> q; 
inline void addedge(int x,int y,int f,int w){
    e[++cnt].nxt=g[x];g[x]=cnt;
    e[cnt].to=y;e[cnt].f=f;e[cnt].w=w;
}
inline void adde(int x,int y,int f,int w){
    addedge(x,y,f,w);addedge(y,x,0,-w);
}
inline bool spfa(int u){
    for(int i=0;i<(t<<1);++i){
        dis[i]=-INF;inq[i]=false;
    }
    q.push(u);dis[u]=0;inq[u]=true;
    while(!q.empty()){
        u=q.front();q.pop();inq[u]=false;
        for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt){
            if(e[i].f>0&&dis[u]+e[i].w>dis[e[i].to]){
                dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].w;
                pre[e[i].to].e=i;pre[e[i].to].v=u;
                if(!inq[e[i].to]){
                    inq[e[i].to]=true;q.push(e[i].to);
                }
            }
        }
    }
    return dis[t]>-INF;
}
inline int mf(){
    int ret=0,d;
    while(true){
        if(!spfa(s)) return ret;
        d=INF;
        for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
            d=min(d,e[pre[i].e].f);
        }
        ret+=d*dis[t];
        for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
            e[pre[i].e].f-=d;e[pre[i].e^1].f+=d;
        }
    }
}
inline void Aireen(){
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<i+m;++j){
            b[i][j]=++cnt;
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    s=0;t=cnt+1;
    //(1)
    s=0;t=cnt+1;cnt=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<i+m;++j)
            adde(b[i][j],b[i][j]+t,1,a[i][j]);
    for(int i=1;i<=m;++i)
        adde(s,b[1][i],1,0);
    for(int i=1;i<n+m;++i)
        adde(b[n][i]+t,t,1,0);
    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=1;j<i+m;++j){
            adde(b[i][j]+t,b[i+1][j],1,0);
            adde(b[i][j]+t,b[i+1][j+1],1,0);
        }
    printf("%d
",mf());
    //(2)
    cnt=1;memset(g,0,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=m;++i)
        adde(s,b[1][i],1,0);
    for(int i=1;i<n+m;++i)
        adde(b[n][i],t,INF,a[n][i]);
    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=1;j<i+m;++j){
            adde(b[i][j],b[i+1][j],1,a[i][j]);
            adde(b[i][j],b[i+1][j+1],1,a[i][j]);
        }
    printf("%d
",mf());
    //(3)
    cnt=1;memset(g,0,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=m;++i)
        adde(s,b[1][i],1,0);
    for(int i=1;i<n+m;++i)
        adde(b[n][i],t,INF,a[n][i]);
    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=1;j<i+m;++j){
            adde(b[i][j],b[i+1][j],INF,a[i][j]);
            adde(b[i][j],b[i+1][j+1],INF,a[i][j]);
        }
    printf("%d
",mf());
}
int main(){
    freopen("digit.in","r",stdin);
    freopen("digit.out","w",stdout);
    Aireen();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}