考研编程练习----最长上升子序列

问题描述

        对于一串数A={a₁a₂a_3…a_n}_{，它的子序列为S=}{s₁s₂s_3…s_n}，满足{s₁<s₂<s₃<…<sm}。求A的最长子序列的长度。

动态规划法

算法描述：

        设数串的长度为n，L[i]为以第i个数为末尾的最长上升子序列的长度，a[i]为数串的第i个数。

        L[i]的计算方法为：从前i-1个数中找出满足a[j]<a[i]（1<=j<i）条件的最大的L[j]，L[i]等于L[j]+1。

动归表达式：

代码实现：

int LIS(int a[], int n)
{
    int len[MAXSIZE];
    int i, j;
    int maxlen = 0;
    //计算以第i个数为结尾的最长上升子序列的长度
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        len[i] = 0;
        //从前i-1个数中找出满足a[j]<a[i]（1<=j<i）条件的最大的L[j]
        for (j = i-1; j >= 1; j--)
        {
            if (a[j] < a[i] && len[j] > len[i])
            {
                len[i] = len[j];
            }
        }
        len[i]++;

        if (len[i] > maxlen)
        {
            maxlen = len[i];
        }
    }
    return maxlen;
}

上述算法的时间复杂度为O(n²)。

 

动态规划适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

1.最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。