动态规划

动态规划解题的一般思路

1.将原问题分解为子问题
把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。
子问题都解决，原问题即解决。

子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。

2.确定状态
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。

整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。

用动态规划解题，经常碰到的情况是，K个整型变量能够成一个状态。
如果这K个整型变量的取值范围分别是n₁、n₂、……n_k，
那么就可以用一个K维的数组array[n₁][n₂]……[n_k]来存储各个状态的“值”。
这个“值”未必就是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构才能表示的，那么array就可以是一个结构数组。
一个“状态”下的“值”通常是一个或多个子问题的解。

3.确定一些初始状态（边界状态）的值

4.确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同状态之间如何迁移——即如何从一个或多个“值”已知的“状态”，求出另一个“状态”的值。
状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

能用动态规划解决的问题的特点

1.问题具有最优子结构性质。
如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质。

2.无后效性。
当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。

递归到动规的一般转化方法

递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始，逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。

动归的常用两种形式

1）递归型优点：直观，容易编写缺点：可能会因递归层数太深导致爆栈，函数调用带来额外时间开销。无法使用滚动数组节省空间。总体来说，比递推型慢。
2）递推型效率高，有可能使用滚动数组节省。