面试常见二叉树问题

关于二叉树

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昨天看了一下关于树中的面试题，发现二叉树中的面试题比较常见的题型大概有下面几个：

创建一颗二叉树（先序，中序，后序）、遍历一颗二叉树（先序，中序，后序和层次遍历）、求二叉树中叶子节点的个数、求二叉树的高度、求二叉树中两个节点的最近公共祖先、打印和为某一值的全部路径、求某一节点是否在一个树中等等。

再详细的说这些面试题之前，不妨先看一下几种常见的二叉树：

完全二叉树：若二叉树的高度是h，除第h层之外，其他（1~h-1）层的节点数都达到了最大个数，并且第h层的节点都连续的集中在最左边。想到点什么没？实际上，完全二叉树和堆联系比较紧密哈~~~

满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有节点都有两个子节点，最后一层都是叶子节点。

哈夫曼树：又称为最有数，这是一种带权路径长度最短的树。哈夫曼编码就是哈夫曼树的应用。

平衡二叉树：所谓平衡二叉树指的是，左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

二叉排序树：二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。

    二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

  （1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；

  （2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；

  （3）左、右子树也分别为二叉排序树；

AVL树：本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

            1.本身首先是一棵二叉搜索树。

            2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

红黑树：红黑树是每个节点都带颜色的树，节点颜色或是红色或是黑色，红黑树是一种查找树。红黑树有一个重要的性质，从根节点到叶子节点的最长的路径不多于最短的路径的长度的两倍。

           对于红黑树，插入，删除，查找的复杂度都是O（log N）。

Trie树：又称单词查找树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。

           它的优点是：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。

            3个基本性质：根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符； 从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串； 每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

B+树：B+树是应文件系统所需而出的一种B-树的变型树。一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于：

1.有n棵子树的结点中含有n个关键字，每个关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。

通常在B+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。

B树：1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树（或B-树、B_树）。

一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：

1、根结点至少有两个子女；

2、每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；

3、除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：┌m/2┐ <= k <= m ；

4、所有的叶子结点都位于同一层。

在B-树中，每个结点中关键字从小到大排列，并且当该结点的孩子是非叶子结点时，该k-1个关键字正好是k个孩子包含的关键字的值域的分划。

因为叶子结点不包含关键字，所以可以把叶子结点看成在树里实际上并不存在外部结点，指向这些外部结点的指针为空，叶子结点的数目正好等于树中所包含的关键字总个数加1。

B-树中的一个包含n个关键字，n+1个指针的结点的一般形式为： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）

其中，Ki为关键字，K1<K2<…<Kn, Pi 是指向包括Ki到Ki+1之间的关键字的子树的指针。

应用场景：

AVL树：课本上最早介绍的平衡二叉树，Windows对进程地址空间的管理用到。

红黑树：一种平衡二叉树，由于有序插入效率稳定和低复杂度而被运用在各种语言的标准库实现中，比如STL的map，set。

B/B+树：数据库索引，磁盘文件组织。

trie树：字典树，用在统计还排序大量字符串。