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  • 数学建模(6)DNA限制性图谱的绘制

     

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    DNA限制性图谱的绘制

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    绘制DNA限制性图谱是遗传生物学中的重要问题。由于DNA分子很长,目前的实验技术无法对其进行直接测量,所以生物学家们需要把DNA分子切开,一段一段的来测量。在切开的过程中,DNA片段在原先DNA分子上的排列顺序丢失了,如何找回这些片段的排列顺序是一个关键问题。

    为了构造一张限制性图谱,生物学家用不同的生化技术获得关于图谱的间接的信息,然后采用组合方法用这些数据重构图谱。一种方法是用限制性酶来消化DNA分子。这些酶在限制性位点把DNA链切开,每种酶对应的限制性位点不一样。对于每一种酶,每个DNA分子可能有多个限制性位点,此时可以按照需要来选择切开某几个位点(不一定连续)。DNA分子被切开后,得到的每个片段的长度就是重构这些片段的原始顺序的基本信息。在多种获取这种信息的实验方法中,有一种广泛采用的方法:部分消化(the partial digest, PDP)方法。

    PDP中,采用一种酶,通过实验得到任意两个限制性位点之间片段的长度。假设与使用的酶对应的限制性位点有n个,通过大量实验,可得到n+2个点(n个位点加上两个端点)中任意两点之间的距离,共个值。然后用这个距离来重构n个限制性位点的位置(解不一定唯一,两个端点对应于最长的距离)。若是线段上的点集中所有点之间距离的集合,PDP就是给定。下图给出了一个例子。

    ?

    ???????? 2??????? 3?????????? 4???????????? 5???? ???????2

    ?

    ???????

    ?A?????? a????????? b??????????? c?????????????? d?????? B

    1.?? A,BDNA分子的两个端点。 abcd是限制性位点。? 通过实验可以得到 ={2,3,4,5,2,5,9,14,16,7,12,14,9,11,7}. 再通过来求,对应于上图的={0,2,5,9,14,16}是一种解。

    ?

    上述方法要把DNA分子在任意的两个限制性位点处切开,这对于当前的实验技术来说有相当难度,而且,还要对实验数据进行处理,也很复杂。最近研究人员提出了一种新的方法,称为简化的部分消化方法(SPDP)。这个方法与PDP的不同就在于它避免了在任意两个位点切开DNA分子的难题和处理重复数据的困难。仍假设与使用的酶对应的限制性位点有n个。首先DNA分子被复制成n+1份,前n个复制品中的每一个在一个限制性位点处被切开,最后一个复制品在所有的限制性位点处被切开。这样我们分别得到2n个片段长度(称为第一组数据)和n+1个片段长度(称为第二组数据)。在没有误差的前提下,第一组数据中2n个长度可以分成n对,每对的和都等于DNA分子的总长度;第二组数据中n+1个长度的和也等于DNA分子的总长度。 SPDP问题是如何利用这两组数据重构出这n+1个片段在DNA分子上的排列,使得这个排列在n个位点切开后得到的2n个片段长度与实验得到的2n个长度相等。下图给出了一个例子。

    ?(a)

    2?????? 6???????? 1?????? 4?????? 3

    ?

    (b)

    ?????????? 2?????????????????? 14

    ?

    ???????????????? 8????????????????? 8

    ?

    ???????????????? 9??????????????????? 7

    ?

    ???????????????????? 13??????????????????? 3

    ?

    ?????????

    2???? 1???????? 4?????????? 3????????????? 6

    ?

    ?

    2.? 这个例子对应的位点有4个。(a) 就是我们希望重构的顺序。 (b)中的前4对为第一组数据,它通过切开一个位点得到,每对长度的和都是16,剩下的为第二组数据,含5个片段长度,它通过切开所有位点得到,它们的长度总和也是16但实验结果只告知每段的长度,不知道它们在DNA分子上的排列顺序。

    ?

    现对上述SPDP问题,建立数学模型,并研究以下问题:

    (1)???? 设计求解该问题的算法,并评估该算法的效率和效果。对下述2个实例给出答案:

    实例1第一组数据:2148897133

    第二组数据:21436

    ?

    实例2:? 第一组数据:1141237896114123132510

    第二组数据:112122123

    ?

    (2)??? 讨论在实验中测量片段长度时的误差,将在多大程度上影响算法的效果,当误差到多大程度时,限制性图谱的重构将无法进行。

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